1. Bài toán yêu cầu tính đạo hàm bậc 100 của hàm số $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 4}$$. 2. Ta nhận thấy hàm số có dạng phân thức với mẫu là đa thức bậc 2. 3. Công thức tổng quát để tính đạo hàm bậc cao của hàm dạng $$f(x) = (x^2 + 4)^{-1}$$ là sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm mũ và quy tắc chuỗi. 4. Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: $$f(x) = (x^2 + 4)^{-1}$$. 5. Đạo hàm bậc 1: $$f'(x) = -1 \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot 2x = -2x (x^2 + 4)^{-2}$$ 6. Đạo hàm bậc 2: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-2x (x^2 + 4)^{-2}\right) = -2 (x^2 + 4)^{-2} + (-2x) \cdot (-2) (x^2 + 4)^{-3} \cdot 2x$$ $$= -2 (x^2 + 4)^{-2} + 8x^2 (x^2 + 4)^{-3}$$ 7. Ta thấy đạo hàm bậc cao của hàm dạng này có thể được biểu diễn dưới dạng: $$f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{(x^2 + 4)^{n+1}}$$ trong đó $$P_n(x)$$ là đa thức bậc $$n$$. 8. Để tính đạo hàm bậc 100, ta sử dụng công thức tổng quát cho đạo hàm bậc $$n$$ của hàm dạng $$f(x) = (x^2 + a^2)^{-1}$$: $$f^{(n)}(x) = (-1)^n \cdot \frac{(2n)!}{n!} \cdot \frac{U_n(x)}{(x^2 + 4)^{n+1}}$$ trong đó $$U_n(x)$$ là đa thức bậc $$n$$. 9. Cụ thể, đạo hàm bậc 100 của $$f(x)$$ là: $$f^{(100)}(x) = (-1)^{100} \cdot \frac{(200)!}{100!} \cdot \frac{P_{100}(x)}{(x^2 + 4)^{101}} = \frac{(200)!}{100!} \cdot \frac{P_{100}(x)}{(x^2 + 4)^{101}}$$ 10. Kết luận: Đạo hàm bậc 100 của hàm số $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 4}$$ có dạng: $$f^{(100)}(x) = \frac{(200)!}{100!} \cdot \frac{P_{100}(x)}{(x^2 + 4)^{101}}$$ trong đó $$P_{100}(x)$$ là đa thức bậc 100, hệ số và dạng cụ thể của đa thức này có thể được tính bằng quy tắc Leibniz hoặc công thức tổng quát cho đạo hàm bậc cao của hàm phân thức.