1. نبدأ بكتابة المسألة: حساب التكامل من الفترة $-1$ إلى $3$ للدالة $2-5x$ باستخدام التعريف العام للتكامل. 2. التعريف العام للتكامل هو حساب نهاية مجموع ريمان: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$$ حيث $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ و $x_i^*$ نقطة اختيار داخل كل جزء. 3. هنا الفترة $[a,b] = [-1,3]$، إذن: $$\Delta x = \frac{3 - (-1)}{n} = \frac{4}{n}$$ ونختار $x_i^* = -1 + i \Delta x = -1 + \frac{4i}{n}$. 4. نعوض في الدالة: $$f(x_i^*) = 2 - 5\left(-1 + \frac{4i}{n}\right) = 2 + 5 - \frac{20i}{n} = 7 - \frac{20i}{n}$$ 5. مجموع ريمان يصبح: $$S_n = \sum_{i=1}^n \left(7 - \frac{20i}{n}\right) \cdot \frac{4}{n} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{28}{n} - \frac{80i}{n^2}\right) = \frac{28}{n} \sum_{i=1}^n 1 - \frac{80}{n^2} \sum_{i=1}^n i$$ 6. نحسب المجاميع: $$\sum_{i=1}^n 1 = n$$ $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ 7. بالتعويض: $$S_n = \frac{28}{n} \cdot n - \frac{80}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 28 - 40 \cdot \frac{n+1}{n}$$ 8. نأخذ النهاية عندما $n \to \infty$: $$\lim_{n \to \infty} S_n = 28 - 40 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 28 - 40 \cdot 1 = -12$$ 9. إذن قيمة التكامل هي: $$\int_{-1}^3 (2 - 5x) \, dx = -12$$