1. Il problema chiede di trovare la derivata della funzione $$f(x) = \frac{x\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x^2}$$ e verificare la correttezza della derivata data. 2. La funzione può essere riscritta usando potenze frazionarie: $$f(x) = \frac{x x^{1/2} + x^{1/3}}{x^2} = \frac{x^{3/2} + x^{1/3}}{x^2}$$ 3. Per derivare una funzione quoziente $$\frac{u}{v}$$ si usa la regola: $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 4. Calcoliamo le derivate di $$u = x^{3/2} + x^{1/3}$$ e $$v = x^2$$: $$u' = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{3}x^{-2/3}$$ $$v' = 2x$$ 5. Applichiamo la regola del quoziente: $$f'(x) = \frac{\left(\frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{3}x^{-2/3}\right) x^2 - (x^{3/2} + x^{1/3}) 2x}{x^4}$$ 6. Svolgiamo i prodotti: $$= \frac{\frac{3}{2}x^{5/2} + \frac{1}{3}x^{4/3} - 2x^{5/2} - 2x^{4/3}}{x^4}$$ 7. Raggruppiamo i termini simili: $$= \frac{\left(\frac{3}{2} - 2\right) x^{5/2} + \left(\frac{1}{3} - 2\right) x^{4/3}}{x^4} = \frac{-\frac{1}{2} x^{5/2} - \frac{5}{3} x^{4/3}}{x^4}$$ 8. Dividiamo ogni termine per $$x^4$$ sottraendo gli esponenti: $$= -\frac{1}{2} x^{5/2 - 4} - \frac{5}{3} x^{4/3 - 4} = -\frac{1}{2} x^{-3/2} - \frac{5}{3} x^{-8/3}$$ 9. Quindi la derivata corretta è: $$f'(x) = - \frac{1}{2 x^{3/2}} - \frac{5}{3 x^{8/3}}$$ 10. Confrontando con la derivata data: $$f'(x) = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}} - \frac{5}{3 x^2 \sqrt[3]{x^2}}$$ notiamo che $$x^{3/2} = x \sqrt{x}$$ e $$x^{8/3} = x^2 \sqrt[3]{x^2}$$, quindi la derivata data è corretta. 11. L'errore nella risoluzione originale è nella semplificazione e nella manipolazione algebrica successiva, dove sono stati confusi i termini e le potenze, portando a espressioni errate e non equivalenti. 12. Riassumendo, la derivata corretta è: $$f'(x) = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}} - \frac{5}{3 x^2 \sqrt[3]{x^2}}$$