1. Calcola la derivata prima di $f(x) = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x}$. La funzione sotto radice è $\sin^2 x + \cos^2 x$, che è sempre uguale a 1 per l'identità trigonometrica fondamentale. Quindi: $$f(x) = \sqrt{1} = 1$$ La derivata di una costante è zero: $$f'(x) = 0$$ 2. Calcola la derivata prima di $f(x) = \pi \cdot x^7$. Usiamo la regola della derivata di una potenza: $$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$ Quindi: $$f'(x) = \pi \cdot 7 x^{6} = 7 \pi x^{6}$$ 3. Calcola la derivata prima di $f(x) = 3 \sqrt[5]{x} = 3 x^{\frac{1}{5}}$. Deriviamo usando la regola della potenza: $$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{3}{5} x^{-\frac{4}{5}}$$ 4. Calcola la derivata prima di $f(x) = x^5 - x^4 - x^3$. Deriviamo termine per termine: $$f'(x) = 5 x^4 - 4 x^3 - 3 x^2$$ 5. Calcola la derivata prima di $f(x) = \frac{x}{2} + 3x - \frac{1}{3}$. Deriviamo ogni termine: $$\frac{d}{dx} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{d}{dx} 3x = 3$$ $$\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{3}\right) = 0$$ Quindi: $$f'(x) = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$$ 6. Calcola la derivata prima di $f(x) = -\frac{5}{4} x^3 + \frac{7}{2} x^2 + \frac{3}{5} x - 29$. Deriviamo ogni termine: $$f'(x) = -\frac{5}{4} \cdot 3 x^{2} + \frac{7}{2} \cdot 2 x + \frac{3}{5} - 0 = -\frac{15}{4} x^{2} + 7 x + \frac{3}{5}$$ 7. Calcola la derivata prima di $$f(x) = \frac{8}{7} x^{\frac{7}{8}} - \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 1$$. Deriviamo ogni termine usando la regola della potenza: $$f'(x) = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} x^{\frac{7}{8} - 1} - \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} - 0$$ Semplificando i coefficienti: $$f'(x) = 1 \cdot x^{-\frac{1}{8}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{5}} + 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{8}} - x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{2}}$$ 8. Calcola la derivata prima di $f(x) = x^2 \cdot 2^x$. Usiamo la regola del prodotto: $$\frac{d}{dx} [u(x) v(x)] = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$$ Con $u(x) = x^2$ e $v(x) = 2^x$. Deriviamo: $$u'(x) = 2x$$ $$v'(x) = 2^x \ln 2$$ Quindi: $$f'(x) = 2x \cdot 2^x + x^2 \cdot 2^x \ln 2 = 2^x (2x + x^2 \ln 2)$$ 9. Calcola la derivata prima di $f(x) = \frac{x+3}{2x-1}$. Usiamo la regola del quoziente: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u' v - u v'}{v^2}$$ Con $u = x+3$, $v = 2x - 1$. Deriviamo: $$u' = 1$$ $$v' = 2$$ Calcoliamo: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x - 1) - (x+3) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 6}{(2x - 1)^2} = \frac{-7}{(2x - 1)^2}$$