1. مسئله: مشتق توابع داده شده را با استفاده از تعریف مشتق حساب کنید. 2. تعریف مشتق: مشتق تابع $f(x)$ در نقطه $x$ برابر است با حد $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 3. الف) مشتق $f(x) = \sqrt{3x + 4}$: - ابتدا تابع را به صورت $f(x) = (3x+4)^{\frac{1}{2}}$ می‌نویسیم. - از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم: $$f'(x) = \frac{1}{2}(3x+4)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$$ 4. ب) مشتق $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$: - تابع را به صورت $f(x) = x (x+1)^{-\frac{1}{2}}$ می‌نویسیم. - از قاعده ضرب استفاده می‌کنیم: $$f'(x) = 1 \cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+1)^{-\frac{3}{2}} = (x+1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{x}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$$ - مخرج مشترک می‌گیریم: $$f'(x) = \frac{2(x+1) - x}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$$ پاسخ نهایی: الف) $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$ ب) $f'(x) = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$