1. مسئله الف: محاسبه مشتق تابع $$y = \ln\left(\sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)\right)$$. 2. فرمول‌های مورد استفاده: - مشتق تابع لگاریتم طبیعی: $$\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$$ - مشتق تابع سینوس: $$\frac{d}{dx} \sin v = \cos v \cdot \frac{dv}{dx}$$ - مشتق تابع رادیکال: $$\frac{d}{dx} \sqrt{w} = \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot \frac{dw}{dx}$$ 3. مشتق‌گیری مرحله به مرحله: $$y = \ln\left(\sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)\right)$$ ابتدا بگذارید $$u = \sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)$$، پس: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)} \cdot \frac{d}{dx} \sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)$$ 4. مشتق $$\sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)$$: بگذارید $$v = \sqrt{3x - 1}$$، پس: $$\frac{d}{dx} \sin v = \cos v \cdot \frac{dv}{dx} = \cos\left(\sqrt{3x - 1}\right) \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{3x - 1}$$ 5. مشتق $$\sqrt{3x - 1}$$: $$\frac{d}{dx} \sqrt{3x - 1} = \frac{1}{2\sqrt{3x - 1}} \cdot \frac{d}{dx} (3x - 1) = \frac{1}{2\sqrt{3x - 1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$$ 6. حال مشتق $$u$$ را جایگزین می‌کنیم: $$\frac{du}{dx} = \cos\left(\sqrt{3x - 1}\right) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$$ 7. نهایتاً مشتق $$y$$ برابر است با: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)} \cdot \cos\left(\sqrt{3x - 1}\right) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}} = \frac{3 \cos\left(\sqrt{3x - 1}\right)}{2 \sqrt{3x - 1} \sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)}$$ --- 1. مسئله ب: یافتن نقاط اکسترمم و عطف تابع $$y = \tan x$$ در بازه $$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - مشتق $$\tan x$$ برابر است با $$\sec^2 x$$. - نقاط اکسترمم زمانی رخ می‌دهند که مشتق اول صفر شود. - نقاط عطف زمانی رخ می‌دهند که مشتق دوم صفر شود. 3. مشتق اول: $$y' = \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$$ 4. مشتق دوم: $$y'' = \frac{d}{dx} \sec^2 x = 2 \sec^2 x \cdot \sec x \tan x = 2 \sec^3 x \tan x$$ 5. بررسی نقاط اکسترمم: مشتق اول $$\sec^2 x$$ هیچگاه صفر نمی‌شود چون $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ و $$\cos x$$ در بازه داده شده صفر نمی‌شود (چون بازه باز است و شامل نقاط $$\pm \frac{\pi}{2}$$ نیست). پس هیچ نقطه اکسترممی در بازه وجود ندارد. 6. بررسی نقاط عطف: نقاط عطف زمانی رخ می‌دهند که $$y'' = 0$$: $$2 \sec^3 x \tan x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$$ در بازه $$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$، $$\tan x = 0$$ در $$x = 0$$. 7. نتیجه: - هیچ نقطه اکسترممی در بازه وجود ندارد. - نقطه عطف در $$x = 0$$ است. پاسخ نهایی: الف) $$\frac{dy}{dx} = \frac{3 \cos\left(\sqrt{3x - 1}\right)}{2 \sqrt{3x - 1} \sin\left(\sqrt{3x - 1}\right)}$$ ب) نقاط اکسترمم: ندارد. نقطه عطف: $$x = 0$$.