1. مسئله: مشتق توابع داده شده را بیابید. 2. تابع اول: $$y = \sqrt[3]{3x^4 + 1} + e^{2x} + \ln(2x)$$ - برای مشتق گرفتن از $$\sqrt[3]{3x^4 + 1}$$ از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. - مشتق $$e^{2x}$$ برابر است با $$2e^{2x}$$. - مشتق $$\ln(2x)$$ برابر است با $$\frac{1}{2x} \times 2 = \frac{1}{x}$$. 3. مشتق تابع اول: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(3x^4 + 1)^{-\frac{2}{3}} \times 12x^3 + 2e^{2x} + \frac{1}{x}$$ ساده شده: $$\frac{dy}{dx} = 4x^3 (3x^4 + 1)^{-\frac{2}{3}} + 2e^{2x} + \frac{1}{x}$$ 4. تابع دوم: $$y = \frac{1}{2} \times 3 \sin^4(2x) + \arctan^2(x)$$ - مشتق $$\sin^4(2x)$$ با استفاده از قاعده زنجیره‌ای و توان است. - مشتق $$\arctan^2(x)$$ نیز با قاعده زنجیره‌ای است. 5. مشتق تابع دوم: $$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} \times 4 \sin^3(2x) \times \cos(2x) \times 2 + 2 \arctan(x) \times \frac{1}{1+x^2}$$ ساده شده: $$\frac{dy}{dx} = 12 \sin^3(2x) \cos(2x) + \frac{2 \arctan(x)}{1+x^2}$$