1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع $f(x)$ به صورت $$f(x) = \int_2^x \frac{\cos(\pi t)}{1+t^2} dt$$ تعریف شده است و تابع $y$ به صورت $$y = x f\left(\frac{1}{x}\right)$$ می‌باشد. هدف یافتن مشتق $y$ در نقطه $x=\frac{1}{2}$ است. 2. ابتدا مشتق $f(x)$ را با استفاده از قضیه بنیادی حسابان می‌یابیم: $$f'(x) = \frac{\cos(\pi x)}{1+x^2}$$ زیرا مشتق انتگرال با حد بالایی متغیر برابر تابع داخل انتگرال در آن نقطه است. 3. حال مشتق $y$ را با استفاده از قاعده زنجیره و ضرب محاسبه می‌کنیم: $$y = x f\left(\frac{1}{x}\right)$$ پس $$y' = f\left(\frac{1}{x}\right) + x \cdot f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$ 4. ساده‌سازی عبارت مشتق: $$y' = f\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x} f'\left(\frac{1}{x}\right)$$ 5. حال مقدار $y'\left(\frac{1}{2}\right)$ را محاسبه می‌کنیم. ابتدا $f\left(2\right)$ و $f'\left(2\right)$ را می‌یابیم: - چون $f(x) = \int_2^x \frac{\cos(\pi t)}{1+t^2} dt$، پس $$f(2) = \int_2^2 \frac{\cos(\pi t)}{1+t^2} dt = 0$$ - و $$f'(2) = \frac{\cos(2\pi)}{1+2^2} = \frac{\cos(2\pi)}{5} = \frac{1}{5}$$ 6. جایگذاری در فرمول مشتق: $$y'\left(\frac{1}{2}\right) = f(2) - 2 \cdot f'(2) = 0 - 2 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{2}{5}$$ نتیجه نهایی: $$\boxed{y'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{5}}$$