1. مسئله: بررسی مشتق‌پذیری تابع $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & x \geq 1 \\ 4x & x < 1 \end{cases}$$ در نقطه $x=1$. 2. تعریف مشتق در نقطه $x=a$ به صورت حد زیر است: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ برای مشتق‌پذیری، این حد باید از چپ و راست برابر باشد. 3. ابتدا مقدار تابع در $x=1$ را محاسبه می‌کنیم: $$f(1) = 1^2 + 3 = 4$$ 4. مشتق سمت راست در $x=1$: $$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 + 3 - 4}{h}$$ 5. ساده‌سازی صورت کسر: $$(1+h)^2 + 3 - 4 = 1 + 2h + h^2 + 3 - 4 = 2h + h^2$$ 6. جایگذاری در حد: $$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h + h^2}{h}$$ 7. حذف عامل مشترک $h$ با علامت ضربدر: $$= \lim_{h \to 0^+} \frac{\cancel{h}(2 + h)}{\cancel{h}} = \lim_{h \to 0^+} (2 + h) = 2$$ 8. مشتق سمت چپ در $x=1$: $$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4(1+h) - 4}{h}$$ 9. ساده‌سازی صورت کسر: $$4(1+h) - 4 = 4 + 4h - 4 = 4h$$ 10. جایگذاری در حد: $$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{4h}{h}$$ 11. حذف عامل مشترک $h$ با علامت ضربدر: $$= \lim_{h \to 0^-} \frac{\cancel{h}4}{\cancel{h}} = \lim_{h \to 0^-} 4 = 4$$ 12. نتیجه: چون مشتق سمت راست $2$ و مشتق سمت چپ $4$ است و برابر نیستند، تابع در $x=1$ مشتق‌پذیر نیست. **پاسخ نهایی:** تابع $f$ در نقطه $x=1$ مشتق‌پذیر نیست.