1. نبدأ بحساب مشتقة الدالة $G(x) = x e^2 \sin\left(\frac{1}{x e^2}\right)$. 2. نلاحظ أن الدالة هي حاصل ضرب بين دالتين: $u = x e^2$ و $v = \sin\left(\frac{1}{x e^2}\right)$. 3. نستخدم قاعدة الضرب للمشتقة: $$G'(x) = u'v + uv'$$ 4. نحسب مشتقة $u$: $$u = x e^2 \implies u' = e^2$$ 5. نحسب مشتقة $v$: $$v = \sin\left(\frac{1}{x e^2}\right)$$ نستخدم قاعدة السلسلة: $$v' = \cos\left(\frac{1}{x e^2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(x e^2)^2} \cdot e^2\right)$$ 6. نبسط التعبير داخل المشتقة: $$v' = -\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right) \cdot \frac{e^2}{x^2 e^4} = -\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right) \cdot \frac{1}{x^2 e^2}$$ 7. نعوض في قاعدة الضرب: $$G'(x) = e^2 \sin\left(\frac{1}{x e^2}\right) + x e^2 \cdot \left(-\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right) \cdot \frac{1}{x^2 e^2}\right)$$ 8. نبسط الحد الثاني: $$x e^2 \cdot \left(-\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right) \cdot \frac{1}{x^2 e^2}\right) = -\frac{\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right)}{x}$$ 9. إذن المشتقة النهائية هي: $$G'(x) = e^2 \sin\left(\frac{1}{x e^2}\right) - \frac{\cos\left(\frac{1}{x e^2}\right)}{x}$$