1. Задача: Найти производную функции $$y = \left(\frac{3}{x} + x\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)$$. 2. Формула: Для нахождения производной произведения двух функций используем правило произведения: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ 3. Обозначим: $$u(x) = \frac{3}{x} + x, \quad v(x) = \sqrt{x} + 1$$ 4. Найдем производные: $$u'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x} + x\right) = \frac{d}{dx}(3x^{-1}) + \frac{d}{dx}(x) = -3x^{-2} + 1 = -\frac{3}{x^2} + 1$$ $$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ 5. Подставим в правило произведения: $$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \left(-\frac{3}{x^2} + 1\right)(\sqrt{x} + 1) + \left(\frac{3}{x} + x\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$$ 6. Раскроем скобки и упростим: $$\left(-\frac{3}{x^2} + 1\right)(\sqrt{x} + 1) = -\frac{3}{x^2}\sqrt{x} - \frac{3}{x^2} + \sqrt{x} + 1$$ $$\left(\frac{3}{x} + x\right)\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2x\sqrt{x}} + \frac{x}{2\sqrt{x}}$$ 7. Упростим дроби: $$-\frac{3}{x^2}\sqrt{x} = -\frac{3\sqrt{x}}{x^2} = -\frac{3}{x^{3/2}}$$ $$\frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{3}{2x^{3/2}}$$ $$\frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{2x^{1/2}} = \frac{x^{1}}{2x^{1/2}} = \frac{x^{1/2}}{2} = \frac{\sqrt{x}}{2}$$ 8. Соберем все вместе: $$y' = -\frac{3}{x^{3/2}} - \frac{3}{x^2} + \sqrt{x} + 1 + \frac{3}{2x^{3/2}} + \frac{\sqrt{x}}{2}$$ 9. Приведем подобные слагаемые: $$-\frac{3}{x^{3/2}} + \frac{3}{2x^{3/2}} = -\frac{3}{2x^{3/2}}$$ $$\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$$ 10. Итог: $$y' = -\frac{3}{2x^{3/2}} - \frac{3}{x^2} + \frac{3\sqrt{x}}{2} + 1$$