1. نبدأ بحل السؤال الأول: إيجاد مشتقة الدالة $f(x) = A x^N$ باستخدام تعريف المشتقة الأول: $$\frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 2. نعوض في التعريف: $$\frac{d}{dx} (A x^N) = \lim_{h \to 0} \frac{A (x+h)^N - A x^N}{h} = A \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^N - x^N}{h}$$ 3. نستخدم خاصية التوسيع أو قاعدة القوة: $$\frac{d}{dx} (A x^N) = A N x^{N-1}$$ 4. ننتقل للسؤال الثاني: $f(x) = \frac{A}{x^N} = A x^{-N}$، ونطبق نفس القاعدة: $$\frac{d}{dx} (A x^{-N}) = A (-N) x^{-N-1} = - A N x^{-N-1}$$ 5. السؤال الثالث: $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$، مشتقتها: $$\frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$ 6. الآن ننتقل لإيجاد النقاط الحرجة للدالة: $$f(x) = (x - 1)^2 (x + 5)^3$$ 7. نستخدم قاعدة الضرب للمشتقة: $$f'(x) = 2(x-1)(x+5)^3 + (x-1)^2 3(x+5)^2$$ 8. نبسط: $$f'(x) = (x-1)(x+5)^2 [2(x+5) + 3(x-1)] = (x-1)(x+5)^2 (5x + 7)$$ 9. نقاط التوقف الحرجة هي حيث: $$(x-1) = 0 \Rightarrow x=1$$ $$(x+5) = 0 \Rightarrow x=-5$$ $$(5x + 7) = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5} = -1.4$$ 10. لتحديد نوع النقاط (ماكس، مين، نقطة انعطاف) نستخدم المشتقة الثانية أو تحليل التغير حول هذه النقاط. الملخص: - مشتقة $A x^N$ هي $A N x^{N-1}$ - مشتقة $\frac{A}{x^N}$ هي $- A N x^{-N-1}$ - مشتقة $\sqrt{x}$ هي $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ - النقاط الحرجة للدالة المعطاة هي $x = 1, -5, -1.4$