1. مسئله: مشتق توابع داده شده را بیابید. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - مشتق تابع نمایی $e^{g(z)}$ برابر است با $e^{g(z)} \cdot g'(z)$. - مشتق توابع مثلثاتی معکوس مانند $\tan^{-1}(z)$ برابر است با $\frac{1}{1+z^2}$. - مشتق لگاریتم طبیعی $\ln(f(z))$ برابر است با $\frac{f'(z)}{f(z)}$. - مشتق حاصل‌قسمت‌ها و توابع مرکب با استفاده از قاعده زنجیره‌ای محاسبه می‌شود. 3. مشتق‌ها: $f_1(z) = e^z \Rightarrow f_1'(z) = e^z$ $f_2(z) = e^{3z} \Rightarrow f_2'(z) = e^{3z} \cdot 3 = 3e^{3z}$ $f_3(z) = e^{z^2} \Rightarrow f_3'(z) = e^{z^2} \cdot 2z = 2z e^{z^2}$ $f_4(z) = \sinh z \Rightarrow f_4'(z) = \cosh z$ $f_5(z) = \cosh z \Rightarrow f_5'(z) = \sinh z$ $f_6(z) = \ln \left(\frac{1 - z^2}{1 + z^2}\right)^3 = 3 \ln \left(\frac{1 - z^2}{1 + z^2}\right)$ مشتق $f_6$: $$f_6'(z) = 3 \cdot \frac{\frac{d}{dz} \left(\frac{1 - z^2}{1 + z^2}\right)}{\frac{1 - z^2}{1 + z^2}} = 3 \cdot \frac{(1 + z^2) \cdot (-2z) - (1 - z^2) \cdot 2z}{(1 + z^2)^2} \cdot \frac{1 + z^2}{1 - z^2}$$ ساده‌سازی: $$= 3 \cdot \frac{-2z(1 + z^2) - 2z(1 - z^2)}{(1 + z^2)(1 - z^2)} = 3 \cdot \frac{-2z - 2z^3 - 2z + 2z^3}{(1 + z^2)(1 - z^2)} = 3 \cdot \frac{-4z}{(1 + z^2)(1 - z^2)} = \frac{-12z}{1 - z^4}$$ $f_7(z) = 3 \tan^{-1} z^3$ مشتق $f_7$: $$f_7'(z) = 3 \cdot \frac{1}{1 + (z^3)^2} \cdot 3z^2 = \frac{9z^2}{1 + z^6}$$ $f_8(z) = \frac{1}{(1 - z)^2} = (1 - z)^{-2}$ مشتق $f_8$: $$f_8'(z) = -2(1 - z)^{-3} \cdot (-1) = \frac{2}{(1 - z)^3}$$ $f_9(z) = \frac{1}{1 + z^3} = (1 + z^3)^{-1}$ مشتق $f_9$: $$f_9'(z) = -1 \cdot (1 + z^3)^{-2} \cdot 3z^2 = \frac{-3z^2}{(1 + z^3)^2}$$ $f_1(z) = \frac{2}{(z - 1)(2 - z)}$ مشتق $f_1$ با قاعده حاصل‌قسمت یا ضرب: $$f_1(z) = \frac{2}{(z - 1)(2 - z)} = 2 \cdot \frac{1}{(z - 1)(2 - z)}$$ مشتق مخرج: $$g(z) = (z - 1)(2 - z) = 2z - z^2 - 2 + z = -z^2 + 3z - 2$$ $$g'(z) = -2z + 3$$ مشتق $f_1$: $$f_1'(z) = 2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{g'(z)}{g(z)^2}\right) = -2 \cdot \frac{-2z + 3}{[(z - 1)(2 - z)]^2} = \frac{2(2z - 3)}{(z - 1)^2 (2 - z)^2}$$ $f_2(z) = \frac{z^2 + 4}{(3 - z)(2 - z)}$ مشتق $f_2$ با قاعده حاصل‌قسمت: صورت: $u = z^2 + 4$, مشتق $u' = 2z$ مخرج: $v = (3 - z)(2 - z)$ $$v = 6 - 3z - 2z + z^2 = 6 - 5z + z^2$$ $$v' = -5 + 2z$$ مشتق $f_2$: $$f_2'(z) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2z(6 - 5z + z^2) - (z^2 + 4)(-5 + 2z)}{(6 - 5z + z^2)^2}$$ ساده‌سازی صورت: $$2z(6 - 5z + z^2) = 12z - 10z^2 + 2z^3$$ $$(z^2 + 4)(-5 + 2z) = -5z^2 - 20 + 2z^3 + 8z$$ $$u'v - uv' = 12z - 10z^2 + 2z^3 - (-5z^2 - 20 + 2z^3 + 8z) = 12z - 10z^2 + 2z^3 + 5z^2 + 20 - 2z^3 - 8z = (12z - 8z) + (-10z^2 + 5z^2) + (2z^3 - 2z^3) + 20 = 4z - 5z^2 + 20$$ پس: $$f_2'(z) = \frac{4z - 5z^2 + 20}{(6 - 5z + z^2)^2}$$ عبارات آخر: $z^{-9} \tan^{-1}(z^2)$ مشتق با قاعده حاصل‌ضرب: $$f(z) = z^{-9} \cdot \tan^{-1}(z^2)$$ $$f'(z) = -9z^{-10} \cdot \tan^{-1}(z^2) + z^{-9} \cdot \frac{1}{1 + (z^2)^2} \cdot 2z = -9z^{-10} \tan^{-1}(z^2) + 2z^{-8} \cdot \frac{1}{1 + z^4}$$ $z^{-8} \ln(1 + z)$ مشتق: $$f(z) = z^{-8} \ln(1 + z)$$ $$f'(z) = -8z^{-9} \ln(1 + z) + z^{-8} \cdot \frac{1}{1 + z} = -8z^{-9} \ln(1 + z) + \frac{z^{-8}}{1 + z}$$ پاسخ نهایی مشتق‌ها به ترتیب: $f_1'(z) = e^z$ $f_2'(z) = 3e^{3z}$ $f_3'(z) = 2z e^{z^2}$ $f_4'(z) = \cosh z$ $f_5'(z) = \sinh z$ $f_6'(z) = \frac{-12z}{1 - z^4}$ $f_7'(z) = \frac{9z^2}{1 + z^6}$ $f_8'(z) = \frac{2}{(1 - z)^3}$ $f_9'(z) = \frac{-3z^2}{(1 + z^3)^2}$ $f_1'(z) = \frac{2(2z - 3)}{(z - 1)^2 (2 - z)^2}$ $f_2'(z) = \frac{4z - 5z^2 + 20}{(6 - 5z + z^2)^2}$ $\frac{d}{dz} \left(z^{-9} \tan^{-1}(z^2)\right) = -9z^{-10} \tan^{-1}(z^2) + \frac{2z^{-8}}{1 + z^4}$ $\frac{d}{dz} \left(z^{-8} \ln(1 + z)\right) = -8z^{-9} \ln(1 + z) + \frac{z^{-8}}{1 + z}$