1. समस्या: एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ समय $t$ के साथ स्थिर गति से बदल रही है। आरंभ में $r=3$ ईकाई और 3 सेकंड बाद $r=6$ ईकाई है। $t$ सेकंड बाद त्रिज्या ज्ञात करें। 2. सूत्र: चूंकि त्रिज्या स्थिर गति से बढ़ रही है, अतः $r$ और $t$ के बीच रैखिक संबंध होगा: $$r = r_0 + vt$$ जहाँ $r_0$ प्रारंभिक त्रिज्या और $v$ वृद्धि की दर है। 3. गणना: प्रारंभ में $r_0=3$ 3 सेकंड बाद $r=6$ इससे $v = \frac{6-3}{3} = 1$ ईकाई/सेकंड 4. अतः $t$ सेकंड बाद त्रिज्या: $$r = 3 + 1 \times t = 3 + t$$ 5. समस्या: बैंक में मूलधन $P$ वार्षिक वृद्धि दर $r\%$ से बढ़ता है। 100 रुपये 10 वर्षों में दोगुना हो जाते हैं। $r$ ज्ञात करें। (दी गई: $\log_e 2 = 0.6931$) 6. सूत्र: चूंकि वृद्धि चक्रवृद्धि है, राशि: $$A = P e^{rt}$$ यहाँ $A=2P$, $t=10$ 7. समीकरण: $$2P = P e^{r \times 10} \Rightarrow 2 = e^{10r}$$ 8. दोनों ओर प्राकृतिक लघुगणक लें: $$\log_e 2 = 10r \Rightarrow r = \frac{0.6931}{10} = 0.06931 = 6.931\%$$ 9. समस्या: बैंक में 5% वार्षिक वृद्धि दर से 1000 जमा किए जाते हैं। 10 वर्ष बाद राशि ज्ञात करें। ($e^{0.5} = 1.648$) 10. सूत्र: $$A = P e^{rt}$$ यहाँ $P=1000$, $r=0.05$, $t=10$ 11. गणना: $$A = 1000 \times e^{0.05 \times 10} = 1000 \times e^{0.5} = 1000 \times 1.648 = 1648$$ 12. समस्या: जीवाणु संख्या $N=100000$ है। 2 घंटे में 10% वृद्धि होती है। कितने घंटे में संख्या 200000 होगी, यदि वृद्धि दर संख्या के समानुपाती है? 13. सूत्र: वृद्धि दर $k$ के साथ: $$\frac{dN}{dt} = kN$$ 14. हल: $$N = N_0 e^{kt}$$ 15. 2 घंटे में 10% वृद्धि: $$110000 = 100000 e^{2k} \Rightarrow e^{2k} = 1.1$$ 16. दोनों ओर लघुगणक लें: $$2k = \log_e 1.1 \Rightarrow k = \frac{\log_e 1.1}{2}$$ 17. अब $N=200000$ के लिए समय $t$: $$200000 = 100000 e^{kt} \Rightarrow 2 = e^{kt}$$ 18. लघुगणक लें: $$\log_e 2 = kt \Rightarrow t = \frac{\log_e 2}{k} = \frac{0.6931}{\frac{\log_e 1.1}{2}} = \frac{0.6931 \times 2}{\log_e 1.1}$$ 19. $\log_e 1.1 \approx 0.09531$ (लगभग) 20. अतः: $$t = \frac{0.6931 \times 2}{0.09531} \approx 14.54 \text{ घंटे}$$ अंतिम उत्तर: 1) $r = 3 + t$ 2) $r = 6.931\%$ 3) राशि = 1648 4) समय $t \approx 14.54$ घंटे