1. समस्या 15: बिंदु (0,0) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें, जिसका अवकल व्युत्पन्न $y' = e^x \sin x$ है। 2. सूत्र: यदि $\frac{dy}{dx} = f(x)$ हो, तो $y = \int f(x) dx + C$. 3. $y = \int e^x \sin x \, dx + C$. 4. $\int e^x \sin x \, dx$ को इंटीग्रेट करने के लिए भाग-भाग विधि या ज्ञात सूत्र का उपयोग करें: $$\int e^x \sin x \, dx = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$ 5. अतः, $$y = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$ 6. बिंदु (0,0) पर रखें: $$0 = \frac{e^0}{2}(\sin 0 - \cos 0) + C = \frac{1}{2}(0 - 1) + C = -\frac{1}{2} + C$$ 7. इससे $C = \frac{1}{2}$. 8. अतः रेखा का समीकरण है: $$y = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{1}{2}$$ --- 9. समस्या 16: अवकल फलन $xy \frac{dy}{dx} = (x+2)(y+2)$ के लिए बिंदु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र रेखा ज्ञात करें। 10. समीकरण: $$xy \frac{dy}{dx} = (x+2)(y+2)$$ 11. इसे पुनः लिखें: $$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)(y+2)}{xy}$$ 12. अलग करें: $$\frac{dy}{y+2} = \frac{(x+2)}{x} dx$$ 13. दोनों ओर इंटीग्रेट करें: $$\int \frac{dy}{y+2} = \int \left(1 + \frac{2}{x}\right) dx$$ 14. इंटीग्रेशन: $$\ln|y+2| = x + 2 \ln|x| + C$$ 15. दोनों ओर exponentiation करें: $$|y+2| = Ae^{x} x^{2}$$ जहां $A = e^{C}$. 16. बिंदु (1,-1) पर रखें: $$|-1 + 2| = A e^{1} 1^{2} \Rightarrow 1 = A e$$ 17. अतः $A = \frac{1}{e}$. 18. अंतिम समीकरण: $$y + 2 = \frac{e^{x}}{e} x^{2} = x^{2} e^{x-1}$$ 19. या $$y = x^{2} e^{x-1} - 2$$ --- 20. समस्या 17: बिंदु (0,-2) से गुजरने वाला वृत्त वक्र ज्ञात करें, जिसके किसी बिंदु (x,y) पर स्पर्शक रहता हो और वह प्रवणता $W$ के लिए ग्रेडिएंट के गुणांक बराबर हों। 21. वृत्त का सामान्य समीकरण: $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ 22. बिंदु (0,-2) से गुजरता है: $$(0 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2$$ 23. स्पर्शक की प्रवणता $\frac{dy}{dx}$ है। वृत्त के लिए: $$2(x - h) + 2(y - k) \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x - h}{y - k}$$ 24. ग्रेडिएंट के गुणांक भी $-\frac{x - h}{y - k}$ के बराबर हैं। 25. अतः यह वृत्त है जिसका केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ है, जो बिंदु (0,-2) से गुजरता है। --- 26. समस्या 18: उस वक्र के किसी बिंदु (x,y) पर स्पर्शक, स्पर्श रेखा $q=(x,y)$ के बिंदु (-4,-3) से मिलने वाले रेखाखंड की प्रवणता की दुगुनी हो। वक्र बिंदु (-2,1) से गुजरता है। 27. मान लें वक्र $y = f(x)$ है। स्पर्शक की प्रवणता $m = \frac{dy}{dx}$. 28. रेखाखंड की प्रवणता $m_s = \frac{y + 3}{x + 4}$. 29. दिया है: $$m_s = 2m$$ 30. अतः $$\frac{y + 3}{x + 4} = 2 \frac{dy}{dx}$$ 31. इसे पुनः लिखें: $$\frac{dy}{dx} = \frac{y + 3}{2(x + 4)}$$ 32. अलग करें: $$\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{2(x + 4)}$$ 33. इंटीग्रेट करें: $$\int \frac{dy}{y + 3} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x + 4}$$ 34. परिणाम: $$\ln|y + 3| = \frac{1}{2} \ln|x + 4| + C$$ 35. दोनों ओर exponentiation करें: $$|y + 3| = A (x + 4)^{1/2}$$ 36. बिंदु (-2,1) पर रखें: $$|1 + 3| = A ( -2 + 4)^{1/2} \Rightarrow 4 = A \sqrt{2} \Rightarrow A = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$$ 37. अंतिम समीकरण: $$y + 3 = 2 \sqrt{2} (x + 4)^{1/2}$$ 38. या $$y = 2 \sqrt{2} \sqrt{x + 4} - 3$$