1. مسئله: مشتق جهتی تابع $f(x,y) = x^3 - 3x^2 y - y^3$ در نقطه $p(1,-2)$ و جهت $\mathbf{u} = \mathbf{i} - \mathbf{j}$ را بیابید. 2. فرمول: مشتق جهتی تابع $f$ در نقطه $p$ به سمت بردار واحد $\mathbf{u}$ برابر است با: $$D_{\mathbf{u}} f(p) = \nabla f(p) \cdot \mathbf{u} = f_x(p) u_1 + f_y(p) u_2$$ که $\nabla f(p)$ گرادیان تابع در نقطه $p$ است و $u_1, u_2$ مؤلفه‌های بردار واحد $\mathbf{u}$ هستند. 3. ابتدا گرادیان $f$ را محاسبه می‌کنیم: $$f_x = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 - 3x^2 y - y^3) = 3x^2 - 6xy$$ $$f_y = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 - 3x^2 y - y^3) = -3x^2 - 3y^2$$ 4. گرادیان را در نقطه $p(1,-2)$ محاسبه می‌کنیم: $$f_x(1,-2) = 3(1)^2 - 6(1)(-2) = 3 + 12 = 15$$ $$f_y(1,-2) = -3(1)^2 - 3(-2)^2 = -3 - 12 = -15$$ 5. بردار جهت $\mathbf{u} = \mathbf{i} - \mathbf{j}$ را به بردار واحد تبدیل می‌کنیم: $$|\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$ $$\hat{\mathbf{u}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$$ 6. مشتق جهتی را محاسبه می‌کنیم: $$D_{\mathbf{u}} f(1,-2) = (15) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + (-15) \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} + \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15 \sqrt{2}$$ پاسخ نهایی: مشتق جهتی برابر است با $15 \sqrt{2}$.