1. مسئله: حاصل انتگرال دوگانه $$\int_0^\pi \int_0^\pi (\sin x + \cos y) \, dy \, dx$$ را بیابید. 2. فرمول و قوانین مهم: انتگرال دوگانه روی مستطیل به صورت $$\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$$ تعریف می‌شود. در اینجا تابع به صورت جمع دو جمله است که می‌توان انتگرال را به صورت جمع انتگرال‌های جداگانه حساب کرد. 3. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به $$y$$: $$\int_0^\pi (\sin x + \cos y) \, dy = \int_0^\pi \sin x \, dy + \int_0^\pi \cos y \, dy$$ چون $$\sin x$$ نسبت به $$y$$ ثابت است: $$= \sin x \int_0^\pi dy + \left[ \sin y \right]_0^\pi = \sin x \cdot \pi + (\sin \pi - \sin 0) = \pi \sin x + 0 = \pi \sin x$$ 4. حال انتگرال بیرونی نسبت به $$x$$: $$\int_0^\pi \pi \sin x \, dx = \pi \int_0^\pi \sin x \, dx = \pi \left[-\cos x \right]_0^\pi = \pi (-\cos \pi + \cos 0) = \pi (-(-1) + 1) = \pi (1 + 1) = 2\pi$$ 5. پاسخ نهایی: $$\boxed{2\pi}$$