1. Énoncé du problème : Nous avons la fonction $z(x,y) = 2 + xy + \frac{x^2}{4}$ avec $x \in [0,2]$ et $y \in [0,2]$. Nous devons estimer l'aire de la surface définie par cette fonction en utilisant l'aire de 4 parallélogrammes. 2. Compréhension : Le domaine est un carré $[0,2] \times [0,2]$ que nous divisons en 4 sous-domaines égaux (chacun de taille $1 \times 1$). 3. Calcul des points pour chaque sous-domaine : Les points sont : - $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ pour le premier parallélogramme - $(1,0)$, $(2,0)$, $(1,1)$, $(2,1)$ pour le deuxième - $(0,1)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(1,2)$ pour le troisième - $(1,1)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$ pour le quatrième 4. Calcul des valeurs de $z$ en ces points : - $z(0,0) = 2 + 0 + 0 = 2$ - $z(1,0) = 2 + 0 + \frac{1}{4} = 2.25$ - $z(0,1) = 2 + 0 + 0 = 2$ - $z(1,1) = 2 + 1 + \frac{1}{4} = 3.25$ - $z(2,0) = 2 + 0 + 1 = 3$ - $z(2,1) = 2 + 2 + 1 = 5$ - $z(0,2) = 2 + 0 + 0 = 2$ - $z(1,2) = 2 + 2 + \frac{1}{4} = 4.25$ 5. Estimation de l'aire de chaque parallélogramme : Chaque parallélogramme a une base et une hauteur de 1, donc l'aire projetée est 1. 6. Calcul de la surface estimée par la méthode des parallélogrammes : On calcule la moyenne des hauteurs $z$ aux coins de chaque parallélogramme et on multiplie par l'aire projetée 1. - Parallélogramme 1 : moyenne $= \frac{2 + 2.25 + 2 + 3.25}{4} = 2.375$ - Parallélogramme 2 : moyenne $= \frac{2.25 + 3 + 3.25 + 5}{4} = 3.375$ - Parallélogramme 3 : moyenne $= \frac{2 + 3.25 + 2 + 4.25}{4} = 2.875$ - Parallélogramme 4 : moyenne $= \frac{3.25 + 5 + 4.25 + 5}{4} = 4.375$ 7. Somme des aires estimées : $$\text{Surface estimée} = 1 \times (2.375 + 3.375 + 2.875 + 4.375) = 12.999$$ 8. Conclusion : L'aire estimée de la surface définie par $z(x,y)$ sur le domaine donné est environ $13$.