1. Das Problem lautet: Überprüfen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 2^{5x}$. 2. Die Ableitung einer Exponentialfunktion $a^{g(x)}$ ist gegeben durch die Kettenregel: $$\frac{d}{dx} a^{g(x)} = \ln(a) \cdot a^{g(x)} \cdot g'(x)$$ 3. Für $f(x) = 2^{5x}$ ist $a=2$ und $g(x) = 5x$. Die Ableitung von $g(x)$ ist: $$g'(x) = 5$$ 4. Setzen wir alles in die Formel ein: $$f'(x) = \ln(2) \cdot 2^{5x} \cdot 5$$ 5. Die gegebene Ableitung im Benutzertext ist: $$\ln(2) \cdot 2^{x \cdot 5} \cdot x$$ 6. Hier ist ein Fehler: Statt $x$ muss der Faktor $5$ stehen, da $g'(x) = 5$ und nicht $x$. 7. Korrekte Ableitung lautet also: $$f'(x) = 5 \ln(2) \cdot 2^{5x}$$ Zusammenfassung: Die Ableitung von $f(x) = 2^{5x}$ ist nicht $\ln(2) \cdot 2^{5x} \cdot x$, sondern $5 \ln(2) \cdot 2^{5x}$.