Fourier Coefficients A47348

1. **Problema planteado.** Queremos escribir correctamente la serie de Fourier y verificar sus coeficientes. 2. **Fórmula general de una serie de Fourier.** Para una función $f(x)$ en un intervalo adecuado, la serie de Fourier se escribe como $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right).$$ Las fórmulas de los coeficientes son $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,$$ $$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.$$ 3. **Observación importante.** En tu expresión aparece una suma con cosenos y solo términos impares. Eso indica que la función tiene simetría par, por eso normalmente se espera que $b_n=0$. 4. **Corrección de la forma dada.** La serie que escribiste parece querer ser $$f(x)=\frac{1-\pi}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}.$$ Aquí el índice debe usar $k$ de manera consistente, y la suma debe empezar en $k=0$ para incluir $1,3,5,\dots$. 5. **Coeficiente $a_0$.** Si la serie está escrita en la forma estándar $\frac{a_0}{2}+\cdots$, entonces $$\frac{a_0}{2}=\frac{1-\pi}{2}$$ y por tanto $$a_0=1-\pi.$$ 6. **Coeficientes $a_n$.** Para esta clase de serie, los coeficientes de coseno son $$a_n=\frac{2}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n^2}.$$ Ahora separamos por paridad: $$a_n=\begin{cases}0,& n\text{ par}\\\frac{4}{\pi n^2},& n\text{ impar}\end{cases}$$ Si prefieres escribirlo con el factor original de la serie, entonces la idea clave es la misma: solo sobreviven los índices impares. 7. **Coeficientes $b_n$.** Como no hay términos seno en la serie, se tiene $$b_n=0.$$ 8. **Forma final correcta.** Una escritura limpia del resultado es $$f(x)=\frac{1-\pi}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2},$$ con $$a_0=1-\pi,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n^2},\quad b_n=0.$$ 9. **Respuesta final.** $$a_0=1-\pi,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n^2},\quad b_n=0.$$