1. נתחיל בפתרון סעיף א: תחום ההגדרה של הפונקציה הפונקציה נתונה כ-$$f(x) = \frac{3 - x}{(x - 2)^2}$$ כדי למצוא את תחום ההגדרה, יש לבדוק איפה המכנה שווה לאפס כי שם הפונקציה לא מוגדרת. המכנה הוא $$(x - 2)^2$$ ולכן הוא שווה לאפס כאשר $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ לכן, תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-$$x = 2$$: $$\text{Domain} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$$ 2. סעיף ב: נקודות החיתוך עם הצירים - חיתוך עם ציר ה-$$y$$: נקבל את ערך הפונקציה ב-$$x=0$$: $$f(0) = \frac{3 - 0}{(0 - 2)^2} = \frac{3}{4}$$ נקודת החיתוך עם ציר ה-$$y$$ היא $$(0, \frac{3}{4})$$ - חיתוך עם ציר ה-$$x$$: נמצא איפה הפונקציה שווה לאפס, כלומר איפה המונה שווה לאפס: $$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$$ נקודת החיתוך עם ציר ה-$$x$$ היא $$(3, 0)$$ 3. סעיף ג: אסימפטוטות מאונכות לצירים - אסימפטוטה אנכית: מתרחשת כאשר המכנה שווה לאפס ולא ניתן לפשט את הביטוי. כפי שראינו, ב-$$x=2$$ המכנה שווה לאפס, ולכן יש אסימפטוטה אנכית ב-$$x=2$$. - אסימפטוטה אופקית: נבדוק את הגבול של הפונקציה כאשר $$x \to \pm \infty$$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - x}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - x}{x^2 (1 - \frac{2}{x})^2}$$ מכיוון שהמונה הוא סדר ראשון והמונה הוא סדר שני, הגבול שואף ל-0: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$ וגם כאשר $$x \to -\infty$$: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$ לכן, יש אסימפטוטה אופקית ב-$$y=0$$. 4. סעיף ד: תחומי עלייה וירידה נחשב את הנגזרת של הפונקציה: $$f(x) = \frac{3 - x}{(x - 2)^2}$$ נשתמש בכלל המנה: $$f'(x) = \frac{(3 - x)' (x - 2)^2 - (3 - x) \cdot 2 (x - 2)}{(x - 2)^4}$$ חישוב הנגזרות: $$(3 - x)' = -1$$ לכן: $$f'(x) = \frac{-1 \cdot (x - 2)^2 - (3 - x) \cdot 2 (x - 2)}{(x - 2)^4} = \frac{-(x - 2)^2 - 2(3 - x)(x - 2)}{(x - 2)^4}$$ נפתח את המונה: $$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$2(3 - x)(x - 2) = 2(3x - 6 - x^2 + 2x) = 2(-x^2 + 5x - 6) = -2x^2 + 10x - 12$$ אז המונה הוא: $$-(x^2 - 4x + 4) - (-2x^2 + 10x - 12) = -x^2 + 4x - 4 + 2x^2 - 10x + 12 = ( -x^2 + 2x^2 ) + (4x - 10x) + (-4 + 12) = x^2 - 6x + 8$$ לכן: $$f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 2)^4}$$ כדי למצוא תחומי עלייה וירידה, נבדוק את סימן הנגזרת: המונה מתאפסת בפתרון המשוואה: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ נפתור: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ כלומר: $$x = 2, 4$$ אבל ב-$$x=2$$ הפונקציה לא מוגדרת ולכן נבדוק את סימן הנגזרת בקטעים: - עבור $$x < 2$$: נבחר למשל $$x=1$$: $$1 - 6 + 8 = 3 > 0$$ - עבור $$2 < x < 4$$: נבחר $$x=3$$: $$9 - 18 + 8 = -1 < 0$$ - עבור $$x > 4$$: נבחר $$x=5$$: $$25 - 30 + 8 = 3 > 0$$ מכאן: - הפונקציה עולה בקטע $$(-\infty, 2)$$ - הפונקציה יורדת בקטע $$(2, 4)$$ - הפונקציה עולה בקטע $$(4, \infty)$$ 5. סעיף ה: שטח סטרט של גרף הפונקציה הפונקציה אינה מוגדרת ב-$$x=2$$ ויש אסימפטוטה אנכית שם, לכן שטח סטרט (שטח סגור בין הפונקציה לציר ה-$$x$$) לא מוגדר במובן הרגיל ללא הגבלת תחום. 6. סעיף ז: נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם הצירים כבר מצאנו את הנגזרת: $$f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 2)^4}$$ נקודות חיתוך עם ציר ה-$$x$$ הן איפה שהנגזרת שווה לאפס, כלומר איפה המונה שווה לאפס: $$x^2 - 6x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2, 4$$ אבל ב-$$x=2$$ הנגזרת אינה מוגדרת (מכנה אפס), לכן נקודת חיתוך אמיתית היא רק ב-$$x=4$$. 7. סעיף ח (1): איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$? לפי הניתוח שלנו, הנגזרת היא פונקציה רציונלית עם נקודת אי-הגדרה ב-$$x=2$$, מתאפסת ב-$$x=4$$, בעלת סימנים חיוביים ושליליים כפי שתואר בסעיף ד. הגרף המתאים הוא גרף II שמתאר פונקציה מתנודדת עם עליות וירידות. 8. סעיף ח (2): נתונה הפונקציה $$g(x) = f'(x - 3)$$ נמצא את נקודת החיתוך של $$g(x)$$ עם ציר ה-$$x$$: $$g(x) = 0 \Rightarrow f'(x - 3) = 0$$ כפי שראינו, $$f'(t) = 0$$ כאשר $$t = 4$$ (מתעלמים מ-2 כי שם הפונקציה לא מוגדרת). אז: $$x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7$$ נקודת החיתוך של $$g(x)$$ עם ציר ה-$$x$$ היא $$(7, 0)$$.