1. **הבעיה:** נתונה הפונקציה $$f(x) = \frac{3 - x}{(x - 2)^2}$$ יש לפתור את כל הסעיפים א-ז ולענות על השאלות הנוספות. 2. **תחום ההגדרה:** הפונקציה מוגדרת לכל ערך של $$x$$ פרט לנקודות שבהן המכנה שווה לאפס. מכנים: $$(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ לכן, תחום ההגדרה הוא $$\{x \in \mathbb{R} : x \neq 2\}$$. 3. **נקודות חיתוך עם הצירים:** - חיתוך עם ציר ה-$$y$$: נמצא את $$f(0)$$: $$f(0) = \frac{3 - 0}{(0 - 2)^2} = \frac{3}{4}$$ נקודת חיתוך עם ציר ה-$$y$$ היא $$(0, \frac{3}{4})$$. - חיתוך עם ציר ה-$$x$$: נמצא את הערכים של $$x$$ שגורמים למונה להיות אפס: $$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$$ נקודת חיתוך עם ציר ה-$$x$$ היא $$(3, 0)$$. 4. **אסימפטוטות:** - אסימפטוטה אנכית: בנקודה שבה המכנה מתאפס ואין ביטול עם המונה, כלומר ב-$$x=2$$. - אסימפטוטה אופקית: נבדוק את הגבול כאשר $$x \to \pm \infty$$: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - x}{(x - 2)^2} = 0$$ כי המונה גדל בקצב ליניארי והמחנה בריבוע, ולכן הפונקציה שואפת ל-0. לכן, יש אסימפטוטה אופקית ב-$$y=0$$. 5. **חומרים עיליים וירידה:** נמצא את הנגזרת של $$f(x)$$ באמצעות כלל המנה: $$f(x) = \frac{u}{v}$$ עם $$u = 3 - x$$ ו-$$v = (x - 2)^2$$. נגזרות: $$u' = -1$$ $$v' = 2(x - 2)$$ לפי כלל המנה: $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-1 \cdot (x - 2)^2 - (3 - x) \cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4}$$ נפתח את המונה: $$- (x - 2)^2 - 2(3 - x)(x - 2)$$ נפתח את הביטויים: $$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$(3 - x)(x - 2) = 3x - 6 - x^2 + 2x = -x^2 + 5x - 6$$ לכן המונה: $$- (x^2 - 4x + 4) - 2(-x^2 + 5x - 6) = -x^2 + 4x - 4 + 2x^2 - 10x + 12 = ( -x^2 + 2x^2 ) + (4x - 10x) + (-4 + 12) = x^2 - 6x + 8$$ הנגזרת היא: $$f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 2)^4}$$ נמצא את נקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-$$x$$ (כאשר המונה שווה לאפס): $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ נפתור את המשוואה: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ $$x = \frac{6 \pm 2}{2}$$ כלומר: $$x_1 = 2, \quad x_2 = 4$$ נקודות קריטיות הן ב-$$x=2$$ (שאינה בתחום ההגדרה) ו-$$x=4$$. נבדוק סימן הנגזרת סביב $$x=4$$: - עבור $$x=3$$: $$f'(3) = \frac{9 - 18 + 8}{(3 - 2)^4} = \frac{-1}{1} = -1 < 0$$ (פונקציה יורדת) - עבור $$x=5$$: $$f'(5) = \frac{25 - 30 + 8}{(5 - 2)^4} = \frac{3}{81} > 0$$ (פונקציה עולה) לכן, ב-$$x=4$$ יש נקודת מינימום מקומי. 6. **סקיצה של הגרף:** - אסימפטוטה אנכית ב-$$x=2$$ - אסימפטוטה אופקית ב-$$y=0$$ - חיתוך עם ציר ה-$$x$$ ב-$$x=3$$ - חיתוך עם ציר ה-$$y$$ ב-$$y=\frac{3}{4}$$ - פונקציה יורדת מימין ל-$$x=2$$, עולה אחרי $$x=4$$ 7. **נקודות חיתוך של $$f'(x)$$ עם הצירים:** כפי שמצאנו, חיתוך עם ציר ה-$$x$$ ב-$$x=2$$ ו-$$x=4$$. חיתוך עם ציר ה-$$y$$: $$f'(0) = \frac{0 - 0 + 8}{(0 - 2)^4} = \frac{8}{16} = 0.5$$ נקודת חיתוך עם ציר ה-$$y$$ היא $$(0, 0.5)$$. 8. **איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $$f'(x)$$?** - ב-$$x=2$$ יש נקודת אי-הגדרה (אסימפטוטה אנכית), ולכן הגרף של $$f'(x)$$ לא מוגדר שם. - ב-$$x=4$$ יש נקודת חיתוך עם ציר ה-$$x$$ ונקודת מינימום. - ב-$$x=3$$ הנגזרת שלילית (יורדת), ב-$$x=5$$ חיובית (עולה). גרף I מתאר פונקציה יורדת סביב האפס, גרף II עולה, וגרף III בעל שיא וירידה. בהתחשב בהתנהגות, הגרף המתאים הוא הגרף III. 9. **הפונקציה $$g(x) = f'(x - 3)$$:** נקודת החיתוך של $$g(x)$$ עם ציר ה-$$x$$ היא כאשר: $$g(x) = 0 \Rightarrow f'(x - 3) = 0$$ כלומר, נפתור: $$x - 3 = 2 \quad \text{או} \quad x - 3 = 4$$ כלומר: $$x = 5 \quad \text{או} \quad x = 7$$ לכן, נקודות החיתוך של $$g(x)$$ עם ציר ה-$$x$$ הן ב-$$x=5$$ ו-$$x=7$$. **תשובות סופיות:** - א. תחום ההגדרה: $$x \neq 2$$ - ב. חיתוך עם ציר ה-$$x$$: $$(3,0)$$, חיתוך עם ציר ה-$$y$$: $$(0, \frac{3}{4})$$ - ג. אסימפטוטות: אנכית ב-$$x=2$$, אופקית ב-$$y=0$$ - ד. חומרים: פונקציה יורדת בין $$2$$ ל-$$4$$, עולה אחרי $$4$$ - ה. סקיצה בהתאם לתכונות - ו. נקודות חיתוך של $$f'(x)$$ עם ציר ה-$$x$$: $$x=2,4$$ - ז. הגרף המתאר את $$f'(x)$$ הוא הגרף III - נקודת חיתוך של $$g(x) = f'(x-3)$$ עם ציר ה-$$x$$: $$x=5,7$$