1. **הבעיה:** נתונה הפונקציה $f(x)=2x^2 e^{x^2 m}$ כאשר $m \neq 0$. א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x=-2$. מצא את $m$. ג. מצא נקודות חיתוך עם הצירים. ד. מצא נקודות קיצון וסוגן. ה. שרטט סקיצה של הפונקציה. ו. שרטט את גרף הנגזרת $f'(x)$ בקטע $-2 \leq x \leq 2$. --- 2. **תחום ההגדרה:** הפונקציה היא מכפלה של פולינום $2x^2$ ופונקציית מעריכית $e^{x^2 m}$. שתי הפונקציות מוגדרות לכל $x \in \mathbb{R}$ ולכן תחום ההגדרה הוא: $$ \text{Domain} = (-\infty, \infty) $$ --- 3. **מציאת $m$ כאשר יש נקודת קיצון ב-$x=-2$:** נחשב את הנגזרת $f'(x)$ ונציב $x=-2$ ונדרוש ש-$f'(-2)=0$. הפונקציה: $$ f(x) = 2x^2 e^{x^2 m} $$ הנגזרת לפי כלל המכפלה: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) \cdot e^{x^2 m} + 2x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{x^2 m}) $$ נגזור כל חלק: $$ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x $$ $$ \frac{d}{dx}(e^{x^2 m}) = e^{x^2 m} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 m) = e^{x^2 m} \cdot 2x m $$ לכן: $$ f'(x) = 4x e^{x^2 m} + 2x^2 \cdot e^{x^2 m} \cdot 2x m = e^{x^2 m} (4x + 4x^3 m) $$ נפשט: $$ f'(x) = 4x e^{x^2 m} (1 + x^2 m) $$ כדי ש-$f'(-2)=0$: $$ 4(-2) e^{4 m} (1 + 4 m) = 0 $$ מכיוון ש-$4(-2) \neq 0$ ו-$e^{4 m} \neq 0$ לכל $m$, חייב להתקיים: $$ 1 + 4 m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{4} $$ --- 4. **נקודות חיתוך עם הצירים:** - חיתוך עם ציר ה-$y$ (כאשר $x=0$): $$ f(0) = 2 \cdot 0^2 \cdot e^{0} = 0 $$ נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$ היא $(0,0)$. - חיתוך עם ציר ה-$x$ (כאשר $f(x)=0$): $$ 2x^2 e^{x^2 m} = 0 $$ המעריך לעולם חיובי, לכן: $$ 2x^2 = 0 \Rightarrow x=0 $$ נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$ היא $(0,0)$. --- 5. **נקודות קיצון וסוגן:** כבר מצאנו ש-$m = -\frac{1}{4}$. נחשב את הנגזרת השנייה $f''(x)$ כדי לקבוע את סוג נקודות הקיצון. הנגזרת הראשונה: $$ f'(x) = 4x e^{x^2 m} (1 + x^2 m) $$ נחשב את הנגזרת השנייה לפי כלל המכפלה: נגדיר: $$ U = 4x, \quad V = e^{x^2 m} (1 + x^2 m) $$ אז: $$ f''(x) = U' V + U V' $$ נחשב: $$ U' = 4 $$ $$ V = e^{x^2 m} (1 + x^2 m) $$ נגזור $V$: $$ V' = \frac{d}{dx} \left(e^{x^2 m} (1 + x^2 m)\right) $$ שוב כלל מכפלה: $$ V' = e^{x^2 m} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2 m) + (1 + x^2 m) \cdot \frac{d}{dx}(e^{x^2 m}) $$ נגזר: $$ \frac{d}{dx}(1 + x^2 m) = 2x m $$ $$ \frac{d}{dx}(e^{x^2 m}) = e^{x^2 m} \cdot 2x m $$ לכן: $$ V' = e^{x^2 m} (2x m) + (1 + x^2 m) e^{x^2 m} (2x m) = e^{x^2 m} 2x m (1 + 1 + x^2 m) = e^{x^2 m} 2x m (2 + x^2 m) $$ לכן: $$ f''(x) = 4 e^{x^2 m} (1 + x^2 m) + 4x e^{x^2 m} 2x m (2 + x^2 m) = 4 e^{x^2 m} (1 + x^2 m) + 8 x^2 m e^{x^2 m} (2 + x^2 m) $$ נפשט: $$ f''(x) = 4 e^{x^2 m} (1 + x^2 m) + 8 x^2 m e^{x^2 m} (2 + x^2 m) = 4 e^{x^2 m} \left(1 + x^2 m + 2 x^2 m (2 + x^2 m)\right) $$ נפתח את הסוגריים: $$ 1 + x^2 m + 2 x^2 m \cdot 2 + 2 x^4 m^2 = 1 + x^2 m + 4 x^2 m + 2 x^4 m^2 = 1 + 5 x^2 m + 2 x^4 m^2 $$ לכן: $$ f''(x) = 4 e^{x^2 m} (1 + 5 x^2 m + 2 x^4 m^2) $$ נציב $m = -\frac{1}{4}$ ו-$x = -2$: $$ x^2 = 4, \quad m = -\frac{1}{4} $$ נחשב את הביטוי שבסוגריים: $$ 1 + 5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 2 \cdot 16 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 5 + 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{16} = 1 - 5 + 2 = -2 $$ מכיוון ש-$e^{x^2 m} > 0$ תמיד, נקבל: $$ f''(-2) = 4 e^{4 m} (-2) < 0 $$ לכן, בנקודה $x=-2$ יש נקודת מקסימום. --- 6. **סקיצה ושרטוט גרף הנגזרת:** - הפונקציה גדלה וקטנה בהתאם לסימן של $f'(x)$. - בנקודה $x=-2$ יש מקסימום. - נקודת חיתוך עם הצירים היא $(0,0)$. - תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים. - גרף הנגזרת $f'(x) = 4x e^{x^2 m} (1 + x^2 m)$ עם $m = -\frac{1}{4}$ ניתן לשרטט בקטע $-2 \leq x \leq 2$. --- **סיכום:** - תחום ההגדרה: $(-\infty, \infty)$ - $m = -\frac{1}{4}$ - נקודת קיצון ב-$x=-2$ היא מקסימום - נקודת חיתוך עם הצירים: $(0,0)$ - נגזרת: $$ f'(x) = 4x e^{x^2 m} (1 + x^2 m) $$ ---