1. **נתון:** הפונקציה $f(x) = \frac{\ln(x+2)}{x+2}$. 2. **(א) i) מציאת תחום ההגדרה:** - הפונקציה כוללת לוגריתם טבעי $\ln(x+2)$, ולכן חייב להתקיים $x+2 > 0$. - כלומר, $x > -2$. - בנוסף, המחלק $x+2 \neq 0$ כדי למנוע חילוק באפס. - לכן תחום ההגדרה הוא $(-2, \infty)$. 3. **(א) ii) מציאת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x:** - אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר $x \to \infty$ או $x \to -2^+$. - נבדוק את הגבולות: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x+2)}{x+2} = 0$$ כי המונה גדל לאט יותר מהמחלק. $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{\ln(x+2)}{x+2} = -\infty$$ (הלוגריתם שואף ל-$-\infty$ והמחלק שואף ל-0 חיובי). - לכן, האסימפטוטה האופקית היא $y=0$. 4. **(ב) מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה-x:** - חיתוך עם ציר ה-x כאשר $f(x)=0$. - כלומר, $\frac{\ln(x+2)}{x+2} = 0 \Rightarrow \ln(x+2) = 0$. - $\ln(x+2) = 0 \Rightarrow x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$. - נקודת החיתוך היא $(-1,0)$. 5. **(ג) מציאת נקודות קיצון וסוגן:** - נגזור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{\ln(x+2)}{x+2}$$ נשתמש בכלל המנה: $$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x+2})(x+2) - \ln(x+2) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{1 - \ln(x+2)}{(x+2)^2}$$ - נקודות קיצון כאשר $f'(x) = 0$: $$1 - \ln(x+2) = 0 \Rightarrow \ln(x+2) = 1 \Rightarrow x+2 = e \Rightarrow x = e - 2$$ - סוג נקודת הקיצון: נבדוק את סימן הנגזרת סביב $x = e-2$: - עבור $x < e-2$, למשל $x=0$, $f'(0) = \frac{1 - \ln(2)}{4} > 0$ (כי $\ln(2) \approx 0.69 < 1$), חיובי. - עבור $x > e-2$, למשל $x=3$, $f'(3) = \frac{1 - \ln(5)}{25} < 0$ (כי $\ln(5) > 1$), שלילי. - לכן, נקודת הקיצון היא מקסימום מקומי ב-$x = e-2$. 6. **(ד) תחומי עלייה וירידה:** - $f'(x) > 0$ כאשר $1 - \ln(x+2) > 0 \Rightarrow \ln(x+2) < 1 \Rightarrow x+2 < e \Rightarrow x < e-2$. - $f'(x) < 0$ כאשר $x > e-2$. - לכן, הפונקציה עולה ב-$(-2, e-2)$ ויורדת ב-$(e-2, \infty)$. 7. **(ה) סקיצה:** - תחום ההגדרה $(-2, \infty)$. - אסימפטוטה אופקית ב-$y=0$. - נקודת חיתוך עם ציר ה-x ב-$(-1,0)$. - מקסימום מקומי ב-$x = e-2$. 8. **(ו) תחום שבו $f(x) \cdot f'(x) > 0$:** - נחשב את המוצר: $$f(x) \cdot f'(x) = \frac{\ln(x+2)}{x+2} \cdot \frac{1 - \ln(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{\ln(x+2)(1 - \ln(x+2))}{(x+2)^3}$$ - ננתח סימנים: - $x+2 > 0$ תמיד בתחום ההגדרה, לכן $(x+2)^3 > 0$. - לכן סימן המוצר תלוי ב-$\ln(x+2)(1 - \ln(x+2))$. - נבדוק את הביטוי $g(t) = t(1 - t)$ כאשר $t = \ln(x+2)$. - $g(t) > 0$ כאשר: - $t > 0$ ו-$1 - t > 0 \Rightarrow 0 < t < 1$. - כלומר, $0 < \ln(x+2) < 1 \Rightarrow 1 < x+2 < e \Rightarrow -1 < x < e-2$. **תשובות סופיות:** - תחום הגדרה: $(-2, \infty)$. - אסימפטוטה אופקית: $y=0$. - נקודת חיתוך עם ציר ה-x: $(-1,0)$. - נקודת קיצון: מקסימום ב-$x = e-2$. - תחומי עלייה: $(-2, e-2)$. - תחומי ירידה: $(e-2, \infty)$. - תחום שבו $f(x) \cdot f'(x) > 0$: $(-1, e-2)$.