1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $g(x) = e^{-x} + \frac{1}{x}$ معرفة على $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. المطلوب: - حساب نهاية $g(x)$ عند أطراف مجال التعريف. - دراسة اتجاه تغير الدالة $g$. - إثبات وجود حل وحيد للمعادلة $g(x) = 0$ في المجال $]-\infty,0[$ والتحقق من التباين $-0.6 < \alpha < -0.5$. - استنتاج إشارة $g(x)$. 2. **حساب النهايات عند أطراف المجال:** - عند $x \to 0^+$، $\frac{1}{x} \to +\infty$ و $e^{-x} \to 1$، إذن: $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$$ - عند $x \to 0^-$، $\frac{1}{x} \to -\infty$ و $e^{-x} \to 1$، إذن: $$\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty$$ - عند $x \to +\infty$، $e^{-x} \to 0$ و $\frac{1}{x} \to 0$, إذن: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$$ - عند $x \to -\infty$، $e^{-x} \to +\infty$ و $\frac{1}{x} \to 0$, إذن: $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$$ 3. **دراسة اتجاه تغير الدالة $g$:** - نحسب المشتقة: $$g'(x) = -e^{-x} - \frac{1}{x^2}$$ - لأن $e^{-x} > 0$ و $\frac{1}{x^2} > 0$ لكل $x \neq 0$، إذن: $$g'(x) = - (e^{-x} + \frac{1}{x^2}) < 0$$ - إذن الدالة $g$ متناقصة على كل مجال تعريفها. 4. **إثبات وجود حل وحيد للمعادلة $g(x) = 0$ في $]-\infty,0[$:** - $g$ متصلة ومتناقصة على $]-\infty,0[$. - نحسب قيم $g$ عند نقطتين: - عند $x = -1$: $$g(-1) = e^{1} + \frac{1}{-1} = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718 > 0$$ - عند $x = -0.5$: $$g(-0.5) = e^{0.5} + \frac{1}{-0.5} = e^{0.5} - 2 \approx 1.649 - 2 = -0.351 < 0$$ - بما أن $g$ متناقصة و $g(-1) > 0 > g(-0.5)$، فبواسطة نظرية القيم المتوسطة يوجد حل وحيد $\alpha \in ]-1, -0.5[$. - للتحقق من التباين $-0.6 < \alpha < -0.5$: - عند $x = -0.6$: $$g(-0.6) = e^{0.6} + \frac{1}{-0.6} \approx 1.822 - 1.667 = 0.155 > 0$$ - عند $x = -0.5$ كما سبق $g(-0.5) < 0$ - إذن $\alpha \in ]-0.6, -0.5[$. 5. **استنتاج إشارة $g(x)$:** - على $]-\infty, \alpha[$، حيث $g$ متناقصة و $g(\alpha) = 0$, تكون $g(x) > 0$. - على $]\alpha, 0[$، تكون $g(x) < 0$. - على $]0, +\infty[$، من النهايات والتناقص، $g(x) > 0$. **النتيجة النهائية:** - $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ - $g$ متناقصة على $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - المعادلة $g(x) = 0$ لها حل وحيد $\alpha$ في $]-\infty, 0[$ مع $-0.6 < \alpha < -0.5$. - إشارة $g(x)$ هي موجبة على $]-\infty, \alpha[$ وسالبة على $]\alpha, 0[$ وموجبة على $]0, +\infty[$.