1. مسئله: مشتق ضمنی تابع $y - \sin(xy) = \ln(x) y$ را بیابید. 2. برای مشتق ضمنی، هر دو طرف معادله را نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم و توجه می‌کنیم که $y$ تابعی از $x$ است، پس از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. 3. مشتق طرف چپ: - مشتق $y$ نسبت به $x$ برابر است با $\frac{dy}{dx}$. - مشتق $-\sin(xy)$ با استفاده از قاعده زنجیره‌ای: $-\cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy)$. - مشتق $xy$ با قاعده ضرب: $y + x \frac{dy}{dx}$. 4. مشتق طرف راست: - مشتق $\ln(x) y$ با قاعده ضرب: $\frac{1}{x} y + \ln(x) \frac{dy}{dx}$. 5. معادله مشتق شده: $$\frac{dy}{dx} - \cos(xy)(y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{y}{x} + \ln(x) \frac{dy}{dx}$$ 6. حال تمام جملات شامل $\frac{dy}{dx}$ را در یک طرف جمع می‌کنیم: $$\frac{dy}{dx} - \cos(xy) x \frac{dy}{dx} - \ln(x) \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \cos(xy) y$$ 7. عامل مشترک $\frac{dy}{dx}$ را خارج می‌کنیم: $$\frac{dy}{dx} (1 - x \cos(xy) - \ln(x)) = \frac{y}{x} + y \cos(xy)$$ 8. در نهایت مشتق ضمنی: $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + y \cos(xy)}{1 - x \cos(xy) - \ln(x)}$$ این پاسخ مشتق ضمنی تابع داده شده است.