1. مسئله: مشتق ضمنی تابع $y - \sin(xy) = \ln(xy)$ را بیابید. 2. برای مشتق ضمنی، هر دو طرف معادله را نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم و از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. 3. مشتق طرف چپ: $$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\sin(xy)) = y' - \cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy)$$ 4. مشتق $xy$ با قاعده ضرب: $$\frac{d}{dx}(xy) = y + x y'$$ 5. پس مشتق طرف چپ می‌شود: $$y' - \cos(xy)(y + x y') = y' - y \cos(xy) - x y' \cos(xy)$$ 6. مشتق طرف راست: $$\frac{d}{dx}(\ln(xy)) = \frac{1}{xy} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \frac{1}{xy}(y + x y') = \frac{y + x y'}{xy} = \frac{y}{xy} + \frac{x y'}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$$ 7. معادله مشتق شده: $$y' - y \cos(xy) - x y' \cos(xy) = \frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$$ 8. تمام جملات شامل $y'$ را به یک طرف و بقیه را به طرف دیگر منتقل می‌کنیم: $$y' - x y' \cos(xy) - \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + y \cos(xy)$$ 9. عامل $y'$ را خارج می‌کنیم: $$y' \left(1 - x \cos(xy) - \frac{1}{y}\right) = \frac{1}{x} + y \cos(xy)$$ 10. در نهایت مشتق ضمنی: $$y' = \frac{\frac{1}{x} + y \cos(xy)}{1 - x \cos(xy) - \frac{1}{y}} = - \frac{- y \cos(xy) - \frac{1}{x}}{1 - x \cos(xy) - \frac{1}{y}}$$ 11. بنابراین گزینه صحیح: $$y' = - \frac{- y \cos(xy) - \frac{1}{x}}{1 - x \cos(xy) - \frac{1}{y}}$$