1. مسئله: نشان دهید برای هر $x > a$ داریم $$f(x) > f^{-1}(x)$$ با فرض اینکه برای هر $x \geq a$ داریم $1 > f'(x)$ و $f(a) = a$.\n\n2. ابتدا یادآوری می‌کنیم که $f^{-1}$ تابع معکوس $f$ است و رابطه $f(f^{-1}(x)) = x$ برقرار است.\n\n3. از شرط $f(a) = a$ و $x > a$ شروع می‌کنیم. چون $f'(x) < 1$ برای $x \geq a$، یعنی شیب تابع کمتر از 1 است و تابع $f$ به صورت یکنواخت افزایشی است (چون تابع معکوس وجود دارد و مشتق مثبت است).\n\n4. برای $x > a$، مقدار $f(x)$ را با مقدار $f^{-1}(x)$ مقایسه می‌کنیم. فرض کنید برعکس باشد، یعنی $f(x) \leq f^{-1}(x)$.\n\n5. چون $f$ افزایشی است، از $f(x) \leq f^{-1}(x)$ نتیجه می‌شود که $$f(f(x)) \leq f(f^{-1}(x)) = x.$$\n\n6. اما مشتق $f$ کمتر از 1 است، پس تابع $f$ کندتر از خط $y=x$ رشد می‌کند. بنابراین برای $x > a$ باید $$f(x) > x$$ باشد تا شرط $f(a) = a$ و $f'(x) < 1$ برقرار باشد. این تناقض نشان می‌دهد فرض ما اشتباه است.\n\n7. بنابراین نتیجه می‌گیریم که برای هر $x > a$ داریم $$f(x) > f^{-1}(x).$$