1. نبدأ بحل السؤال (2) حول نقاط الانعطاف للدالة $f(x) = x + \frac{1}{x}$. 2. نقاط الانعطاف تحدث عندما يتغير تقعر الدالة، أي عندما تكون مشتقة التانية تساوي صفر أو غير معرفة مع تغير في التقعر. 3. نحسب المشتقة الأولى: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$$ 4. نحسب المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{2}{x^3}$$ 5. نبحث عن قيم $x$ حيث $f''(x) = 0$ أو غير معرفة: - $f''(x) = 0$ تعني $\frac{2}{x^3} = 0$ وهذا غير ممكن. - $f''(x)$ غير معرفة عند $x=0$. 6. نتحقق من تغير التقعر حول $x=0$: - عند $x>0$, $f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0$ (مقعرة لأعلى). - عند $x<0$, $f''(x) = \frac{2}{x^3} < 0$ (مقعرة لأسفل). 7. إذن، هناك نقطة انعطاف عند $x=0$ فقط. --- 8. السؤال (3): الفترة التي تكون فيها الدالة $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4$ متناقصة ومحدرة للأسفل. 9. نحسب المشتقة الأولى: $$f'(x) = 6x^2 - 12x$$ 10. نحسب المشتقة الثانية: $$f''(x) = 12x - 12$$ 11. نوجد نقاط حرجة للمشتقة الأولى بحل $f'(x) = 0$: $$6x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 6x(x - 2) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ أو } x=2$$ 12. ندرس إشارة $f'(x)$ بين هذه النقاط: - بين 0 و2، نختبر عند $x=1$: $$f'(1) = 6(1)^2 - 12(1) = 6 - 12 = -6 < 0$$ 13. إذن الدالة متناقصة على الفترة $(0, 2)$. 14. نتحقق من التقعر (محدرة للأسفل) عبر $f''(x)$: - عند $x=1$: $$f''(1) = 12(1) - 12 = 0$$ - عند $x=0.5$: $$f''(0.5) = 12(0.5) - 12 = 6 - 12 = -6 < 0$$ 15. إذن الدالة مقعرة لأسفل على الفترة $(0, 1)$. 16. بما أن الدالة متناقصة ومحدرة للأسفل على الفترة التي تتقاطع فيها هاتان الخاصيتان، فهي على الفترة $(0, 1)$. --- 17. السؤال (4): الدالة $f(x) = x^2 |x|$ مقعرة لأعلى على أي فترة؟ 18. نعيد كتابة الدالة: - $f(x) = x^2 |x| = \begin{cases} x^3 & x \geq 0 \\ -x^3 & x < 0 \end{cases}$ 19. نحسب المشتقة الأولى: - $f'(x) = \begin{cases} 3x^2 & x > 0 \\ -3x^2 & x < 0 \end{cases}$ 20. نحسب المشتقة الثانية: - $f''(x) = \begin{cases} 6x & x > 0 \\ -6x & x < 0 \end{cases}$ 21. ندرس إشارة $f''(x)$: - عند $x > 0$, $f''(x) = 6x > 0$ (مقعرة لأعلى). - عند $x < 0$, $f''(x) = -6x > 0$ لأن $x$ سالب، إذن $f''(x) > 0$ أيضاً (مقعرة لأعلى). 22. إذن الدالة مقعرة لأعلى على كامل المجال ما عدا عند $x=0$ حيث المشتقة الثانية غير معرفة. --- **النتائج النهائية:** - (2) الإجابة الصحيحة: (a) لها نقطة انعطاف عند $x=0$. - (3) الفترة المتناقصة والمحدرة للأسفل: (a) $(0, 1)$. - (4) الدالة مقعرة لأعلى على الفترة $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.