1. **Menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \sin x$ dan $y = \sin 2x$ antara $x=0$ dan $x=\frac{\pi}{3}$** Luas daerah antara dua kurva $y=f(x)$ dan $y=g(x)$ pada interval $[a,b]$ adalah $$\text{Luas} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ Di sini, $f(x) = \sin x$ dan $g(x) = \sin 2x$. 1. Tentukan titik potong antara $\sin x$ dan $\sin 2x$ di interval $[0, \frac{\pi}{3}]$ dengan menyelesaikan $\sin x = \sin 2x$. 2. Hitung integral $$\int_0^{\frac{\pi}{3}} |\sin x - \sin 2x| \, dx$$ dengan memperhatikan tanda fungsi di interval tersebut. 3. Evaluasi integral menggunakan identitas trigonometri dan aturan integral. 2. **Menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $2y = x^2$, $x^3 y = 16$, sumbu $x$, dan garis $x=4$** 1. Ubah persamaan menjadi bentuk $y$: $$y = \frac{x^2}{2}$$ dan $$y = \frac{16}{x^3}$$ 2. Tentukan titik potong kedua kurva dengan menyamakan: $$\frac{x^2}{2} = \frac{16}{x^3} \Rightarrow x^5 = 32 \Rightarrow x = 2$$ 3. Luas daerah antara kedua kurva dari $x=2$ sampai $x=4$ adalah: $$\int_2^4 \left( \frac{16}{x^3} - \frac{x^2}{2} \right) dx$$ 4. Hitung integral tersebut. 3. **Menentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 - 4$ dan sumbu $x$, diputar terhadap sumbu $x$** 1. Tentukan batas integral dengan mencari titik potong kurva dengan sumbu $x$: $$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$ 2. Volume benda putar terhadap sumbu $x$ dihitung dengan rumus: $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$ 3. Karena kurva di bawah sumbu $x$ antara $-2$ dan $2$, gunakan nilai mutlak: $$V = \pi \int_{-2}^2 (x^2 - 4)^2 dx$$ 4. Hitung integral tersebut. 4. **Menentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + 5$, sumbu $x$, garis $x=1$ dan $x=4$, diputar terhadap sumbu $x$** 1. Volume dihitung dengan rumus: $$V = \pi \int_1^4 (x^2 + 5)^2 dx$$ 2. Hitung integral tersebut. 5. **Menentukan titik berat benda yang dibatasi oleh kurva $y = \frac{1}{2} x^2 + 3$, garis $x=3$, sumbu $x$, dan pada kuadran 1** 1. Luas daerah: $$A = \int_0^3 \left( \frac{1}{2} x^2 + 3 \right) dx$$ 2. Koordinat titik berat $(\bar{x}, \bar{y})$ dihitung dengan rumus: $$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^3 x \left( \frac{1}{2} x^2 + 3 \right) dx$$ $$\bar{y} = \frac{1}{2A} \int_0^3 \left( \frac{1}{2} x^2 + 3 \right)^2 dx$$ 3. Hitung semua integral dan evaluasi. **Gambar kurva:** - $y = \sin x$ dan $y = \sin 2x$ pada interval $[0, \frac{\pi}{3}]$ - $y = \frac{x^2}{2}$ dan $y = \frac{16}{x^3}$ pada interval $[2,4]$ - $y = x^2 - 4$ pada interval $[-2,2]$ - $y = x^2 + 5$ pada interval $[1,4]$ - $y = \frac{1}{2} x^2 + 3$ pada interval $[0,3]$ Setiap grafik menunjukkan batas atas dan bawah daerah yang dihitung luas atau volumenya. Jawaban lengkap dan perhitungan integral dapat diberikan jika diminta secara spesifik untuk tiap soal.