1. 题目要求计算积分 $$\int x \arctan x \, dx$$。 2. 使用分部积分法，设 $$u = \arctan x$$，则 $$du = \frac{1}{1+x^2} dx$$。 3. 设 $$dv = x \, dx$$，则 $$v = \frac{x^2}{2}$$。 4. 分部积分公式为 $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$，代入得： $$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$$。 5. 简化被积函数： $$\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$$。 6. 分开积分： $$\frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan x + C$$。 7. 综合结果： $$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \left(\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan x\right) + C = \frac{x^2 + 1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C$$。最终答案为： $$\boxed{\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2 + 1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C}$$