1. El problema es determinar si la integral $$\int_0^{+\infty} \frac{7}{2x^2+8} \, dx$$ converge o diverge. 2. La integral es impropia porque el límite superior es infinito. Para estudiar la convergencia, analizamos el comportamiento del integrando cuando $x \to +\infty$. 3. La función a integrar es $$f(x) = \frac{7}{2x^2+8}$$. 4. Para grandes valores de $x$, el término dominante en el denominador es $2x^2$, por lo que $$f(x) \approx \frac{7}{2x^2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{x^2}$$. 5. Sabemos que la integral $$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$$ converge si y solo si $p > 1$. 6. En nuestro caso, $p=2 > 1$, por lo que la integral $$\int_1^{+\infty} \frac{7}{2x^2+8} \, dx$$ converge. 7. Además, la función es continua y positiva en $[0,+\infty)$, y el integrando no presenta problemas en $x=0$ porque $$\frac{7}{2(0)^2+8} = \frac{7}{8}$$ es finito. 8. Por lo tanto, la integral $$\int_0^{+\infty} \frac{7}{2x^2+8} \, dx$$ converge. 9. Para calcular el valor, hacemos el cambio $$a=2, b=8$$ y escribimos la integral como $$7 \int_0^{+\infty} \frac{1}{2x^2+8} \, dx = 7 \int_0^{+\infty} \frac{1}{2(x^2+4)} \, dx = \frac{7}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4} \, dx$$. 10. La integral $$\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$$. 11. Aplicando esto con $a=2$, tenemos $$\frac{7}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4} \, dx = \frac{7}{2} \left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_0^{+\infty} = \frac{7}{4} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{7\pi}{8}$$. 12. Por lo tanto, la integral converge y su valor es $$\boxed{\frac{7\pi}{8}}$$.