1. مسئله: محاسبه انتگرال $$\int \cos^3(x)\,dx$$. 2. فرمول و قانون مهم: برای انتگرال توانی از کسکانت، از تبدیل توابع مثلثاتی استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که $$\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x)$$ و همچنین $$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$$. 3. جایگذاری: $$\int \cos^3(x)\,dx = \int \cos(x)(1 - \sin^2(x))\,dx$$ 4. تغییر متغیر: بگذارید $$u = \sin(x)$$، پس $$du = \cos(x) dx$$. 5. انتگرال به صورت زیر تبدیل می‌شود: $$\int (1 - u^2) du = \int 1 du - \int u^2 du$$ 6. محاسبه انتگرال‌ها: $$\int 1 du = u$$ $$\int u^2 du = \frac{u^3}{3}$$ 7. نتیجه نهایی: $$u - \frac{u^3}{3} + C = \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C$$ پس جواب انتگرال $$\int \cos^3(x) dx = \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C$$ است.