1. لنبدأ بتوضيح المسألة: لدينا الدالة $g(x) = 2 + (x-1)e^{-x}$ وهي مشتقة الدالة $f(x)$، أي $f'(x) = g(x)$. 2. المطلوب هو فهم العلاقة بين $f$ و $g$، حيث أن $f'(x) = g(x)$ يعني أن $f(x)$ هي الدالة الأصلية لـ $g(x)$. 3. لإيجاد $f(x)$، نحتاج إلى حساب التكامل غير المحدود لـ $g(x)$: $$f(x) = \int g(x) \, dx = \int \left(2 + (x-1)e^{-x}\right) dx$$ 4. نكامل كل حد على حدة: - التكامل الأول: $\int 2 \, dx = 2x + C_1$ - التكامل الثاني: $\int (x-1)e^{-x} \, dx$ 5. لحساب $\int (x-1)e^{-x} \, dx$ نستخدم التكامل بالتجزئة. نختار: - $u = x-1 \Rightarrow du = dx$ - $dv = e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x}$ 6. بالتالي: $$\int (x-1)e^{-x} dx = uv - \int v du = -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx$$ 7. التكامل الأخير: $$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C_2$$ 8. إذن: $$\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C_2 = -xe^{-x} + C_2$$ 9. بالتالي: $$f(x) = 2x - xe^{-x} + C$$ حيث $C = C_1 + C_2$ هو ثابت التكامل. 10. الخلاصة: الدالة الأصلية $f(x)$ التي مشتقتها $g(x)$ هي: $$f(x) = 2x - xe^{-x} + C$$