1. لنبدأ بمسألة حقيقية: حساب التكامل غير المحدد للدالة $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$. 2. صيغة التكامل الأساسية هي $\int f(x) \, dx$ حيث $f(x)$ هي الدالة التي نريد تكاملها. 3. نستخدم خاصية خطية التكامل: $\int (a f(x) + b g(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$. 4. إذن، نكامل كل حد على حدة: $$\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = 3 \int x^2 \, dx + 2 \int x \, dx + \int 1 \, dx$$ 5. نطبق قاعدة القوة للتكامل: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ حيث $n \neq -1$. 6. نحسب كل تكامل: $$3 \int x^2 \, dx = 3 \times \frac{x^{3}}{3} = \cancel{3} \times \frac{x^{3}}{\cancel{3}} = x^{3}$$ $$2 \int x \, dx = 2 \times \frac{x^{2}}{2} = \cancel{2} \times \frac{x^{2}}{\cancel{2}} = x^{2}$$ $$\int 1 \, dx = x$$ 7. نجمع النتائج مع ثابت التكامل $C$: $$\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^{3} + x^{2} + x + C$$ 8. إذن، الحل النهائي هو $x^{3} + x^{2} + x + C$. 9. هذا المثال يوضح كيفية تطبيق قواعد التكامل على دالة متعددة الحدود خطوة بخطوة.