1. Das Problem lautet: Bestimmen Sie das Integral der Funktion $p(x) = 2e^{-0,5x}$ von $x = -1$ bis $x = 3$. 2. Die Formel für das Integral einer Exponentialfunktion $e^{ax}$ ist $$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$$ wobei $a$ eine Konstante ist. 3. Da $p(x) = 2e^{-0,5x}$, ist $a = -0,5$. Das Integral von $p(x)$ ist daher $$\int 2e^{-0,5x} dx = 2 \int e^{-0,5x} dx = 2 \cdot \frac{1}{-0,5} e^{-0,5x} + C = -4 e^{-0,5x} + C$$ 4. Um die Fläche unter der Kurve von $x = -1$ bis $x = 3$ zu berechnen, setzen wir die Grenzen in die Stammfunktion ein: $$\text{Fläche} = F(3) - F(-1) = \left(-4 e^{-0,5 \cdot 3}\right) - \left(-4 e^{-0,5 \cdot (-1)}\right) = -4 e^{-1,5} + 4 e^{0,5}$$ 5. Vereinfachen wir den Ausdruck: $$\text{Fläche} = 4 e^{0,5} - 4 e^{-1,5} = 4 \left(e^{0,5} - e^{-1,5}\right)$$ 6. Da $p(x)$ für alle $x$ positiv ist (weil $e^{x}$ immer positiv ist und mit 2 multipliziert wird), ist die Funktion über der x-Achse. Deshalb ist es korrekt, das Integral direkt von $-1$ bis $3$ zu berechnen, ohne es in zwei Teile zu zerlegen. 7. Zusammenfassung: Sie müssen das Integral nicht zweimal berechnen. Es reicht, das Integral von $-1$ bis $3$ zu nehmen, da die Funktion über der x-Achse liegt. **Endergebnis:** $$\int_{-1}^{3} 2 e^{-0,5x} dx = 4 \left(e^{0,5} - e^{-1,5}\right)$$