1. مسئله را بیان می‌کنیم: باید تابع $f(x)$ را پیدا کنیم که در معادله $$\int \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})}{x^2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x) + C$$ صدق کند. 2. ابتدا صورت کسر را ساده می‌کنیم: $$(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot x + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 1 \cdot x - 1 \cdot \sqrt{x} = x^{3/2} + x - x - x^{1/2} = x^{3/2} - x^{1/2}$$ 3. پس انتگرال به شکل زیر است: $$\int \frac{x^{3/2} - x^{1/2}}{x^2} \, dx = \int \left( x^{3/2 - 2} - x^{1/2 - 2} \right) dx = \int \left( x^{-1/2} - x^{-3/2} \right) dx$$ 4. انتگرال هر جمله را جداگانه محاسبه می‌کنیم: $$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}$$ $$\int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2}$$ 5. بنابراین انتگرال کلی برابر است با: $$2x^{1/2} - (-2x^{-1/2}) + C = 2x^{1/2} + 2x^{-1/2} + C$$ 6. طبق صورت سوال: $$\int \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})}{x^2} dx = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x) + C$$ 7. پس: $$\frac{1}{\sqrt{x}} f(x) = 2x^{1/2} + 2x^{-1/2}$$ 8. ضرب طرفین در $\sqrt{x}$: $$f(x) = 2x^{1/2} \cdot x^{1/2} + 2x^{-1/2} \cdot x^{1/2} = 2x + 2$$ 9. پاسخ صحیح گزینه a) یعنی $f(x) = 2x + 2$ است.