1. **Problemstellung:** Berechne das Integral $$\int_{-1}^2 -2t \, dt$$ mithilfe von Dreiecks- und Rechtecksflächen. 2. **Formel und Erklärung:** Das Integral einer linearen Funktion kann geometrisch als Fläche unter der Geraden interpretiert werden. Negative Werte bedeuten Flächen unter der x-Achse, die negativ gezählt werden. 3. **Funktion und Grenzen:** Die Funktion ist $$y = -2t$$ von $$t = -1$$ bis $$t = 2$$. 4. **Graphische Interpretation:** - Für $$t \in [-1,0]$$ ist $$y = -2t$$ positiv, da $$t$$ negativ ist und mit $$-2$$ multipliziert wird. - Für $$t \in [0,2]$$ ist $$y = -2t$$ negativ. 5. **Berechnung der Flächen:** - Fläche 1 (Dreieck von $$t=-1$$ bis $$t=0$$): Höhe: $$y(-1) = -2 \times (-1) = 2$$ Basis: $$1$$ (von $$-1$$ bis $$0$$) Fläche: $$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$$ - Fläche 2 (Dreieck von $$t=0$$ bis $$t=2$$): Höhe: $$y(2) = -2 \times 2 = -4$$ (negativ, also Fläche unter der x-Achse) Basis: $$2$$ Fläche: $$- \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = -4$$ 6. **Summe der Flächen:** $$1 + (-4) = -3$$ 7. **Endergebnis:** $$\int_{-1}^2 -2t \, dt = -3$$