1. 문제를 이해하기: 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 $$x f(x) = 2x^3 - x^2 + 6a + \int_a^x f(t) \, dt$$ 를 만족하며, $f(0) = 0$이고 $a > 0$일 때 $f(a)$의 값을 구하시오. 2. 주어진 식을 미분하여 $f(x)$에 대한 방정식을 구한다. 양변을 $x$에 대해 미분하면, 적분의 미분법칙에 따라 $$\frac{d}{dx}[x f(x)] = \frac{d}{dx}\left(2x^3 - x^2 + 6a + \int_a^x f(t) \, dt\right)$$ 3. 좌변 미분: $$\frac{d}{dx}[x f(x)] = f(x) + x f'(x)$$ 4. 우변 미분: $$\frac{d}{dx}[2x^3 - x^2 + 6a] = 6x^2 - 2x$$ $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)$$ 따라서 우변 전체 미분은 $$6x^2 - 2x + f(x)$$ 5. 미분 결과를 등식으로 세우면 $$f(x) + x f'(x) = 6x^2 - 2x + f(x)$$ 6. 양변에서 $f(x)$를 빼면 $$x f'(x) = 6x^2 - 2x$$ 7. $x \neq 0$이므로 양변을 $x$로 나누면 $$f'(x) = 6x - 2$$ 8. $f'(x)$를 적분하여 $f(x)$를 구한다. $$f(x) = \int (6x - 2) \, dx = 3x^2 - 2x + C$$ 9. 조건 $f(0) = 0$을 이용하여 $C$를 구한다. $$f(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + C = C = 0$$ 따라서 $$f(x) = 3x^2 - 2x$$ 10. $f(x)$를 원래 식에 대입하여 $a$에 대한 조건을 찾는다. 원래 식: $$x f(x) = 2x^3 - x^2 + 6a + \int_a^x f(t) \, dt$$ 11. 좌변 계산: $$x f(x) = x (3x^2 - 2x) = 3x^3 - 2x^2$$ 12. 우변에서 적분 계산: $$\int_a^x f(t) \, dt = \int_a^x (3t^2 - 2t) \, dt = \left[t^3 - t^2\right]_a^x = (x^3 - x^2) - (a^3 - a^2)$$ 13. 우변 전체는 $$2x^3 - x^2 + 6a + (x^3 - x^2) - (a^3 - a^2) = 3x^3 - 2x^2 + 6a - a^3 + a^2$$ 14. 좌변과 우변이 같으므로 $$3x^3 - 2x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 6a - a^3 + a^2$$ 15. 양변에서 $3x^3 - 2x^2$를 빼면 $$0 = 6a - a^3 + a^2$$ 16. $a$에 대한 방정식 $$6a - a^3 + a^2 = 0$$ 17. 정리하면 $$-a^3 + a^2 + 6a = 0$$ $$a(-a^2 + a + 6) = 0$$ 18. $a > 0$이므로 $a \neq 0$이고, $$-a^2 + a + 6 = 0$$ 19. 이차방정식 풀이: $$a^2 - a - 6 = 0$$ $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ 20. 두 해는 $$a = 3 \quad \text{또는} \quad a = -2$$ 21. $a > 0$이므로 $$a = 3$$ 22. $f(a)$ 값 계산: $$f(3) = 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 = 3 \cdot 9 - 6 = 27 - 6 = 21$$ **최종 답:** $\boxed{21}$ (선택지 ⑤)