1. مسئله: محاسبه انتگرال تابع $$\sec^3(x)$$ است. 2. فرمول و قانون مهم: برای انتگرال توابع توان دار از $$\sec(x)$$، از روش تجزیه و انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. 3. ابتدا $$\sec^3(x)$$ را به صورت $$\sec(x) \cdot \sec^2(x)$$ می‌نویسیم. 4. می‌دانیم که $$\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$$، پس می‌توانیم $$\sec^2(x)$$ را به عنوان مشتق $$\tan(x)$$ در نظر بگیریم. 5. بنابراین انتگرال به شکل زیر است: $$\int \sec^3(x) dx = \int \sec(x) \cdot \sec^2(x) dx = \int \sec(x) d(\tan(x))$$ 6. با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء، فرض می‌کنیم: $$u = \sec(x), \quad dv = \sec^2(x) dx$$ پس: $$du = \sec(x) \tan(x) dx, \quad v = \tan(x)$$ 7. فرمول انتگرال‌گیری جزء به جزء: $$\int u dv = uv - \int v du$$ 8. جایگذاری می‌کنیم: $$\int \sec^3(x) dx = \sec(x) \tan(x) - \int \tan(x) \cdot \sec(x) \tan(x) dx = \sec(x) \tan(x) - \int \sec(x) \tan^2(x) dx$$ 9. با استفاده از رابطه $$\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$$، داریم: $$\int \sec(x) \tan^2(x) dx = \int \sec(x) (\sec^2(x) - 1) dx = \int \sec^3(x) dx - \int \sec(x) dx$$ 10. پس: $$\int \sec^3(x) dx = \sec(x) \tan(x) - \int \sec^3(x) dx + \int \sec(x) dx$$ 11. انتگرال $$\int \sec^3(x) dx$$ را به سمت چپ منتقل می‌کنیم: $$2 \int \sec^3(x) dx = \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) dx$$ 12. انتگرال $$\int \sec(x) dx$$ برابر است با: $$\ln |\sec(x) + \tan(x)| + C$$ 13. بنابراین: $$\int \sec^3(x) dx = \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + \frac{1}{2} \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C$$ پاسخ نهایی: $$\boxed{\int \sec^3(x) dx = \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + \frac{1}{2} \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C}$$