1. مسئله: محاسبه انتگرال تابع $$\sec^3(x)$$ است. 2. فرمول و روش: برای انتگرال توابع توان دار از سکانت، از تجزیه و روش انتگرال‌گیری جزء استفاده می‌کنیم. 3. ابتدا $$\sec^3(x) = \sec(x) \cdot \sec^2(x)$$ را می‌نویسیم. 4. می‌دانیم $$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$$، پس می‌توانیم $$\sec^2 x$$ را به عنوان مشتق $$\tan x$$ در نظر بگیریم. 5. انتگرال را به صورت زیر می‌نویسیم: $$\int \sec^3 x \, dx = \int \sec x \cdot \sec^2 x \, dx = \int \sec x \, d(\tan x)$$ 6. با استفاده از انتگرال‌گیری جزء، فرض می‌کنیم: $$u = \sec x \Rightarrow du = \sec x \tan x \, dx$$ $$dv = \sec^2 x \, dx \Rightarrow v = \tan x$$ 7. فرمول انتگرال‌گیری جزء: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 8. جایگذاری می‌کنیم: $$\int \sec^3 x \, dx = \sec x \tan x - \int \tan x \cdot \sec x \tan x \, dx = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x \, dx$$ 9. با استفاده از رابطه $$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$$ داریم: $$\int \sec x \tan^2 x \, dx = \int \sec x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx$$ 10. پس: $$\int \sec^3 x \, dx = \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx$$ 11. انتگرال $$\int \sec^3 x \, dx$$ را به سمت چپ منتقل می‌کنیم: $$2 \int \sec^3 x \, dx = \sec x \tan x + \int \sec x \, dx$$ 12. انتگرال $$\int \sec x \, dx$$ برابر است با: $$\ln |\sec x + \tan x| + C$$ 13. در نهایت: $$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C$$ 14. پاسخ نهایی: $$\boxed{\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C}$$