1. نبدأ بكتابة المعطيات: التكامل $ \int \sin(x) \cos(x) \, dx = 1 - x^2 + 4 $ وقيمة $ q(\alpha) = -2 $ حيث $ \alpha = a $. 2. نستخدم قاعدة التكامل للمنتج $ \sin(x) \cos(x) $. نعلم أن $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ إذن: $$ \sin(x) \cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2} $$ 3. بالتالي: $$ \int \sin(x) \cos(x) \, dx = \int \frac{\sin(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx $$ 4. نكامل $ \sin(2x) $: $$ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{\cos(2x)}{2} + C $$ 5. إذن: $$ \int \sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos(2x)}{2} + C \right) = -\frac{\cos(2x)}{4} + \frac{C}{2} $$ 6. نساوي هذا التعبير بالمعطى: $$ -\frac{\cos(2x)}{4} + \frac{C}{2} = 1 - x^2 + 4 $$ 7. نستخدم شرط $ q(\alpha) = q(a) = -2 $ لتعويض $ x = a $: $$ -\frac{\cos(2a)}{4} + \frac{C}{2} = 1 - a^2 + 4 = 5 - a^2 $$ 8. نحل المعادلة لإيجاد $ C $: $$ \frac{C}{2} = 5 - a^2 + \frac{\cos(2a)}{4} $$ $$ C = 2 \left(5 - a^2 + \frac{\cos(2a)}{4} \right) = 10 - 2a^2 + \frac{\cos(2a)}{2} $$ 9. نعلم أن $ q(\alpha) = -2 $ أي: $$ -\frac{\cos(2a)}{4} + \frac{C}{2} = -2 $$ 10. نعوض $ C $ من الخطوة 8: $$ -\frac{\cos(2a)}{4} + \frac{10 - 2a^2 + \frac{\cos(2a)}{2}}{2} = -2 $$ 11. نبسط: $$ -\frac{\cos(2a)}{4} + 5 - a^2 + \frac{\cos(2a)}{4} = -2 $$ 12. نلاحظ أن $ -\frac{\cos(2a)}{4} + \frac{\cos(2a)}{4} = 0 $ إذن: $$ 5 - a^2 = -2 $$ 13. نحل لإيجاد $ a $: $$ -a^2 = -7 $$ $$ a^2 = 7 $$ $$ a = \pm \sqrt{7} $$ 14. إذن قيمة $ a $ هي $ \pm \sqrt{7} $.