1. نبدأ بكتابة المسألة: نريد حساب التكامل $$\int \frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x} \, dx$$. 2. نستخدم الهوية المثلثية: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ لكن هنا سنعالج التعبير كما هو. 3. لتبسيط الكسر، نضرب البسط والمقام في $1+\sin 2x$ للحصول على كسر أبسط: $$\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x} \times \frac{1+\sin 2x}{1+\sin 2x} = \frac{(1+\sin 2x)^2}{1 - (\sin 2x)^2}$$ 4. نستخدم الهوية $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ لنبسط المقام: $$1 - (\sin 2x)^2 = \cos^2 2x$$ 5. إذن التكامل يصبح: $$\int \frac{(1+\sin 2x)^2}{\cos^2 2x} \, dx = \int \left(\frac{1+\sin 2x}{\cos 2x}\right)^2 \, dx = \int (\sec 2x + \tan 2x)^2 \, dx$$ 6. نوسع المربع: $$ (\sec 2x + \tan 2x)^2 = \sec^2 2x + 2 \sec 2x \tan 2x + \tan^2 2x $$ 7. نستخدم الهوية $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ لنبسط: $$\sec^2 2x + 2 \sec 2x \tan 2x + (\sec^2 2x - 1) = 2 \sec^2 2x + 2 \sec 2x \tan 2x - 1$$ 8. إذن التكامل هو: $$\int (2 \sec^2 2x + 2 \sec 2x \tan 2x - 1) \, dx = 2 \int \sec^2 2x \, dx + 2 \int \sec 2x \tan 2x \, dx - \int 1 \, dx$$ 9. نستخدم التكاملات المعروفة: - $$\int \sec^2 ax \, dx = \frac{1}{a} \tan ax + C$$ - $$\int \sec ax \tan ax \, dx = \frac{1}{a} \sec ax + C$$ - $$\int 1 \, dx = x + C$$ 10. بالتالي: $$2 \int \sec^2 2x \, dx = 2 \times \frac{1}{2} \tan 2x = \tan 2x$$ $$2 \int \sec 2x \tan 2x \, dx = 2 \times \frac{1}{2} \sec 2x = \sec 2x$$ $$- \int 1 \, dx = -x$$ 11. إذن الحل النهائي هو: $$\tan 2x + \sec 2x - x + C$$