1. نبدأ بحل التكامل التالي: $$\int \sqrt{9 - 4x^2} \, dx$$. 2. نلاحظ أن التعبير تحت الجذر هو من الشكل $$a^2 - (bx)^2$$ حيث $$a=3$$ و $$b=2$$. 3. نستخدم التعويض المثلثي: نضع $$x = \frac{3}{2} \sin \theta$$، إذن $$dx = \frac{3}{2} \cos \theta \, d\theta$$. 4. بالتعويض داخل التكامل: $$\sqrt{9 - 4x^2} = \sqrt{9 - 4 \left(\frac{3}{2} \sin \theta\right)^2} = \sqrt{9 - 9 \sin^2 \theta} = \sqrt{9(1 - \sin^2 \theta)} = 3 \cos \theta$$. 5. إذن التكامل يصبح: $$\int 3 \cos \theta \times \frac{3}{2} \cos \theta \, d\theta = \int \frac{9}{2} \cos^2 \theta \, d\theta$$. 6. نستخدم صيغة تحويل $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$: $$\int \frac{9}{2} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{9}{2} \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{9}{4} \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$$. 7. نحسب التكامل: $$\frac{9}{4} \left( \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C$$. 8. نعود إلى المتغير الأصلي: - من التعويض $$x = \frac{3}{2} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{2x}{3}$$. - إذن $$\theta = \arcsin \left( \frac{2x}{3} \right)$$. - و $$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{2x}{3} \times \frac{\sqrt{9 - 4x^2}}{3} = \frac{4x \sqrt{9 - 4x^2}}{9}$$. 9. بالتالي الحل النهائي هو: $$\frac{9}{4} \arcsin \left( \frac{2x}{3} \right) + \frac{x}{2} \sqrt{9 - 4x^2} + C$$. هذا هو التكامل المطلوب.