1. Το πρόβλημα ζητά να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα: $$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} \, dx$$ 2. Κάνουμε την αντικατάσταση: Θέτουμε $$u = x^{3} + 1$$, άρα $$du = 3x^{2} dx$$. 3. Από το $$du$$ εκφράζουμε το $$x^{2} dx$$: $$x^{2} dx = \frac{1}{3} du$$ 4. Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα: $$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du$$ 5. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: $$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$ 6. Επομένως: $$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$$ 7. Επαναφέρουμε το $$u$$: $$\frac{2}{9} (x^{3} + 1)^{\frac{3}{2}} + C$$ 8. Συμπέρασμα: Η απάντηση που δώσατε είναι σωστή.