1. Vamos resolver a integral $$\int_0^{24} \frac{dx}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{x}}$$ usando a substituição $$\sqrt[4]{x} = t$$. 2. Como $$t = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$$, elevando ambos os lados à quarta potência, temos $$x = t^4$$. 3. Derivando $$x = t^4$$ em relação a $$t$$, obtemos $$dx = 4t^3 dt$$. 4. Substituímos na integral: $$\int_0^{24} \frac{dx}{t + t^2} = \int_{t=\sqrt[4]{0}}^{t=\sqrt[4]{24}} \frac{4t^3 dt}{t + t^2}$$ 5. Simplificamos o denominador: $$t + t^2 = t(1 + t)$$ 6. Substituindo na integral: $$\int_0^{24} \frac{dx}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{x}} = \int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{4t^3}{t(1+t)} dt = \int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{4t^3}{t(1+t)} dt$$ 7. Cancelamos $$t$$ no numerador e denominador: $$\int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{4\cancel{t}^3}{\cancel{t}(1+t)} dt = \int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{4t^2}{1+t} dt$$ 8. Agora, a integral é: $$4 \int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{t^2}{1+t} dt$$ 9. Para resolver $$\int \frac{t^2}{1+t} dt$$, fazemos divisão polinomial: $$\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}$$ 10. Assim, $$4 \int_0^{\sqrt[4]{24}} \left(t - 1 + \frac{1}{1+t}\right) dt = 4 \left[ \int_0^{\sqrt[4]{24}} t dt - \int_0^{\sqrt[4]{24}} 1 dt + \int_0^{\sqrt[4]{24}} \frac{1}{1+t} dt \right]$$ 11. Calculamos cada integral: - $$\int_0^{a} t dt = \frac{a^2}{2}$$ - $$\int_0^{a} 1 dt = a$$ - $$\int_0^{a} \frac{1}{1+t} dt = \ln|1+a| - \ln 1 = \ln(1+a)$$ onde $$a = \sqrt[4]{24}$$. 12. Substituindo os resultados: $$4 \left( \frac{a^2}{2} - a + \ln(1+a) \right) = 4 \left( \frac{(\sqrt[4]{24})^2}{2} - \sqrt[4]{24} + \ln(1+\sqrt[4]{24}) \right)$$ 13. Como $$ (\sqrt[4]{24})^2 = \sqrt{24} $$, a resposta final é: $$4 \left( \frac{\sqrt{24}}{2} - \sqrt[4]{24} + \ln(1+\sqrt[4]{24}) \right)$$