1. Problema: Calcular a integral $$\int x \tan(x^2) \, dx$$. 2. Fórmula e regra: Usamos substituição para integrais do tipo $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx$$. 3. Substituição: Seja $$u = x^2$$, então $$du = 2x \, dx$$ ou $$\frac{du}{2} = x \, dx$$. 4. Reescrevendo a integral: $$\int x \tan(x^2) \, dx = \int \tan(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \tan(u) \, du$$ 5. Integral de $$\tan(u)$$: $$\int \tan(u) \, du = -\ln|\cos(u)| + C$$ 6. Substituindo de volta: $$\frac{1}{2} \int \tan(u) \, du = \frac{1}{2} (-\ln|\cos(u)|) + C = -\frac{1}{2} \ln|\cos(x^2)| + C$$ Resposta final: $$\int x \tan(x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \ln|\cos(x^2)| + C$$