1. El problema es calcular la integral $$\int \frac{x^3}{1+x^8} \, dx$$. 2. Observamos que el denominador es $1+x^8$ y el numerador es $x^3$. Para resolver esta integral, podemos usar un cambio de variable que simplifique la expresión. 3. Sea $u = x^4$, entonces $du = 4x^3 \, dx$, o sea, $x^3 \, dx = \frac{du}{4}$. 4. Reescribimos la integral en términos de $u$: $$\int \frac{x^3}{1+x^8} \, dx = \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+u^2} \, du$$ 5. Sabemos que $$\int \frac{1}{1+u^2} \, du = \arctan(u) + C$$. 6. Por lo tanto, $$\int \frac{x^3}{1+x^8} \, dx = \frac{1}{4} \arctan(x^4) + C$$. 7. La solución final es: $$\boxed{\frac{1}{4} \arctan(x^4) + C}$$.