1. Problema este să calculăm integrala $ \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx $. 2. Observăm că $ x^2 - 4 $ este o diferență de pătrate și se poate factoriza astfel: $ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $. 3. Folosim descompunerea în fracții simple pentru a scrie $ \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} $. 4. Înmulțim ambele părți cu $ (x - 2)(x + 2) $ pentru a elimina numitorul: $$ 1 = A(x + 2) + B(x - 2) $$ 5. Dezvoltăm și grupăm termenii: $$ 1 = A x + 2A + B x - 2B = (A + B) x + (2A - 2B) $$ 6. Egalăm coeficienții pentru $ x $ și termenul liber: $$ A + B = 0 $$ $$ 2A - 2B = 1 $$ 7. Din prima ecuație, $ B = -A $. Înlocuim în a doua: $$ 2A - 2(-A) = 1 \Rightarrow 2A + 2A = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{4} $$ 8. Atunci $ B = -\frac{1}{4} $. 9. Integrala devine: $$ \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \int \left( \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \right) dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} dx $$ 10. Integrăm fiecare termen: $$ \frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C $$ 11. Putem scrie rezultatul final ca: $$ \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C $$ Răspuns final: $$ \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C $$