1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale $$\int \cos(t) e^t \, dt$$. 2. La méthode utilisée est l'intégration par parties, qui repose sur la formule : $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. Première intégration par parties : - Choisissons $$u = \cos(t)$$ donc $$du = -\sin(t) dt$$ - Choisissons $$dv = e^t dt$$ donc $$v = e^t$$ 4. Appliquons la formule : $$\int \cos(t) e^t dt = \cos(t) e^t - \int e^t (-\sin(t)) dt = \cos(t) e^t + \int \sin(t) e^t dt$$ 5. Deuxième intégration par parties sur $$\int \sin(t) e^t dt$$ : - Choisissons $$u = \sin(t)$$ donc $$du = \cos(t) dt$$ - Choisissons $$dv = e^t dt$$ donc $$v = e^t$$ 6. Appliquons la formule : $$\int \sin(t) e^t dt = \sin(t) e^t - \int e^t \cos(t) dt$$ 7. Remplaçons dans l'expression initiale : $$\int \cos(t) e^t dt = \cos(t) e^t + \sin(t) e^t - \int \cos(t) e^t dt$$ 8. Regroupons les termes avec l'intégrale inconnue : $$\int \cos(t) e^t dt + \int \cos(t) e^t dt = \cos(t) e^t + \sin(t) e^t + C$$ $$2 \int \cos(t) e^t dt = \cos(t) e^t + \sin(t) e^t + C$$ 9. Isolons l'intégrale : $$\int \cos(t) e^t dt = \frac{\cos(t) e^t + \sin(t) e^t + C}{2}$$ 10. Conclusion : L'intégrale cherchée est $$\boxed{\int \cos(t) e^t dt = \frac{e^t (\cos(t) + \sin(t)) + C}{2}}$$